mathematica.gr

Ενας κλειστός δίσκος στο επίπεδο είναι τα σημεία ενός κύκλου καθώς και τα εσωτερικά του.

Δίδονται κάποιοι κλειστοί δίσκοι του επιπέδου με την ιδιότητα:
Το κέντρο ενός κλειστού δίσκου δεν βρίσκεται σε κανένα από τους υπόλοιπους.

Να δειχθεί ότι κάθε σημείο του επιπέδου βρίσκεται το πολύ σε κλειστούς δίσκους.

Έστω προς άτοπο ότι υπάρχει σημείο του επιπέδου το οποίο βρίσκεται μέσα σε 6 δίσκους. Έστω τα κέντρα αυτών των 6 δίσκων με ωρολογιακή σειρά. Οι γωνίες έχουν άθροισμα οπότε τουλάχιστον μία από τις γωνίες, έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας η είναι μικρότερη ή ίση των . Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι . Τότε η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου είναι η , και άρα η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι η . Άρα το βρίσκεται στον δίσκο με κέντρο το που περιέχει το . Αυτό όμως είναι άτοπο.