mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 21, 2018 1:04 pm**

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τη οποία ισχύει $\displaystyle x{f}'(x)=2{{x}^{3}}+f(x)$ , για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .
Δίνεται ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=7x-2$ εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε κάποιο σημείο της , έστω $\displaystyle A$ .
Α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $\displaystyle f$ και το $\displaystyle A$ .
Β. Αν η συνάρτηση έχει τύπο $\displaystyle f(x)={{x}^{3}}+4x$ , $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ , τότε :
α. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle B(b,f(b)),\,\,\,C(-2b,f(-2b))$ εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle B$ .
β. Ένα σημείο $\displaystyle E(k,f(k))$ με $\displaystyle k>0$ κινείται πάνω στη $\displaystyle {{C}_{f}}$ και η τετμημένη του απομακρύνεται από τον $\displaystyle {y}'y$ με ταχύτητα $\displaystyle 2cm/s$ .
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον $\displaystyle {x}'x$ η εφαπτομένη ευθεία της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle E$ , τη στιγμή που το $\displaystyle E$ περνά από το $\displaystyle A$ .
γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου με σύνορα τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ και την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=7x-2$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 21, 2018 8:32 pm**

exdx έγραψε: Κυρ Ιαν 21, 2018 1:04 pm Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τη οποία ισχύει $\displaystyle x{f}'(x)=2{{x}^{3}}+f(x)$ , για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .
Δίνεται ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=7x-2$ εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε κάποιο σημείο της , έστω $\displaystyle A$ .
Α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $\displaystyle f$ και το $\displaystyle A$ .
Β. Αν η συνάρτηση έχει τύπο $\displaystyle f(x)={{x}^{3}}+4x$ , $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ , τότε :
α. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle B(b,f(b)),\,\,\,C(-2b,f(-2b))$ εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle B$ .
β. Ένα σημείο $\displaystyle E(k,f(k))$ με $\displaystyle k>0$ κινείται πάνω στη $\displaystyle {{C}_{f}}$ και η τετμημένη του απομακρύνεται από τον $\displaystyle {y}'y$ με ταχύτητα $\displaystyle 2cm/s$ .
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον $\displaystyle {x}'x$ η εφαπτομένη ευθεία της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle E$ , τη στιγμή που το $\displaystyle E$ περνά από το $\displaystyle A$ .
γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου με σύνορα τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ και την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=7x-2$

...Καλησπέρα

και γειά σου Γιώργη και καλή χρονιά...ένα απλό μαγειρευμα...

ΛΥΣΗ
Α. Είναι $\displaystyle x{f}'(x)=2{{x}^{3}}+f(x)$ για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ και ισοδύναμα

$x{f}'(x)-f(x)=2{{x}^{3}}\overset{x\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\frac{x{f}'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}}=2x\Leftrightarrow {{\left( \frac{f(x)}{x} \right)}^{\prime }}=({{x}^{2}}{)}'$ ή

$\frac{f(x)}{x}=\left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}+{{c}_{1}},\,\,x<0 \\ & {{x}^{2}}+{{c}_{2}},\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$ (1)

Αφού η $\displaystyle y=7x-2$ εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε κάποιο σημείο της , έστω $A({{x}_{0}},\,f({{x}_{0}}))$ θα ισχύει ότι

${f}'({{x}_{0}})=7$ και $f({{x}_{0}})=7{{x}_{0}}-2$ και τότε στην αρχική ισότητα θα ισχύει ότι

${{x}_{0}}{f}'({{x}_{0}})=2x_{0}^{3}+f({{x}_{0}})\Leftrightarrow 7{{x}_{0}}=2x_{0}^{3}+7{{x}_{0}}-2\Leftrightarrow x_{0}^{3}=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$

έτσι είναι f(1)=7-2=5

άρα $A(1,\,5)$ και από (1) $\frac{f(1)}{1}=1+{{c}_{2}}\Leftrightarrow {{c}_{2}}=4$ και έτσι από (1) $\frac{f(x)}{x}=\left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}+{{c}_{1}},\,\,x<0 \\ & {{x}^{2}}+4,\,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$ (2)

Ακόμη από $\displaystyle x{f}'(x)=2{{x}^{3}}+f(x)$ με όπου

το

προκύπτει ότι 0=f(0)

και λόγω παραγωγισιμότητας της

στο

θα είναι

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={f}'(0)$ και από (2) $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={f}'(0)$ ή

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+{{c}_{1}})=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+4)={f}'(0)$ ή ${{c}_{1}}=4={f}'(0)$ επομένως από (2)

$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}+4,\,\,x<0 \\ & {{x}^{2}}+4,\,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}={{x}^{2}}+4\Leftrightarrow f(x)={{x}^{3}}+4x,\,\,x\ne 0$ και επειδή

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{3}}+4x)=0=f(0)$ είναι $\displaystyle f(x)={{x}^{3}}+4x,\,\,x\in R$

Β. α) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle B(b,f(b)),\,\,\,C(-2b,f(-2b))$ έχει κλίση

${{\lambda }_{\Alpha \Beta }}=\frac{f(b)-f(-2b)}{b-\left( -2b \right)}=\frac{f(b)+f(2b)}{3b}=\frac{9{{b}^{3}}+12b}{3b}=3{{b}^{2}}+4$ για

$b\ne 0$ αφού $\displaystyle f(-x)=-{{x}^{3}}-4x=-f(x),\,\,x\in R$ και η κλίση της $\displaystyle f(x)={{x}^{3}}+4x,\,\,x\in R$ στο σημείο B(b,f(b))

είναι

$\displaystyle {f}'(b)=3{{b}^{2}}+4$ επομένως $\displaystyle {f}'(b)={{\lambda }_{\Alpha \Beta }}$ άρα η ευθεία $\displaystyle BC$ είναι εφαπτομένη της της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle B$ .

β) Είναι από υπόθεση ${\kappa }'(t)=2$ και αν $\omega$ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ κάθε στιγμή ισχύει ότι

$\varepsilon \phi \omega ={f}'(\kappa )$ και επειδή μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου ισχύει ότι

$\varepsilon \phi (\omega (t))=3{{\kappa }^{2}}(t)+4$ οπότε παραγωγίζοντας έχουμε ότι

$(1+\varepsilon {{\phi }^{2}}(\omega (t))){\omega }'(t)=6{{\kappa }^{2}}(t){\kappa }'(t)$ και αφού ${\kappa }'(t)=2$ είναι

$(1+\varepsilon {{\phi }^{2}}(\omega (t))){\omega }'(t)=12{{\kappa }^{2}}(t)\Leftrightarrow {\omega }'(t)=\frac{12{{\kappa }^{2}}(t)}{1+\varepsilon {{\phi }^{2}}(\omega (t))}$ και την στιγμή που $\kappa ({{t}_{0}})=1$ είναι

$\varepsilon \phi (\omega ({{t}_{0}}))=3{{\kappa }^{2}}({{t}_{0}})+4=7$ και ${\omega }'({{t}_{0}})=\frac{12{{\kappa }^{2}}({{t}_{0}})}{1+\varepsilon {{\phi }^{2}}(\omega ({{t}_{0}}))}=\frac{12}{50}$

γ) Τα κοινά σημεία της $\displaystyle {{C}_{f}}$ και της εφαπτομένης της $\displaystyle y=7x-2$ προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης

$f(x)=7x-2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4x=7x-2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+2=0$ που με σχήμα Horner γίνεται

$(x-1)({{x}^{2}}+x-2)=0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}(x+2)=0$ επομένως έχουν κοινά σημεία το $A(1,\,5)$ σημείο επαφής και το

$B(-2,\,-16)$ και έτσι το ζητούμενο εμβαδό είναι $E=\int\limits_{-2}^{1}{|f(x)-y|dx}=\int\limits_{-2}^{1}{|{{x}^{3}}-3x+2|dx}=\int\limits_{-2}^{1}{|{{(x-1)}^{2}}(x+2)|dx}$

$=\int\limits_{-2}^{1}{|x+2|{{(x-1)}^{2}}dx}=\int\limits_{-2}^{1}{(x+2){{(x-1)}^{2}}dx}=$

$=\int\limits_{-2}^{1}{({{x}^{3}}-3x+2)dx}=\left[ \frac{{{x}^{4}}}{4}-3\frac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right]_{-2}^{1}=...$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

mathematica.gr

Με απλά υλικά (5)

Με απλά υλικά (5)

Re: Με απλά υλικά (5)