Απόδειξη 1ου θεμελιώδους θεωρήματος Ολ.Λογισμού.
Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 24, 2009 10:15 am
Διαβάζοντας ένα ξενόγλωσσο βιβλίο ( Τhe calculus lifesaver-A.Banner,λέκτορα μαθηματικών του Princeton)
βρήκα μια πάρα πολύ ωραία απόδειξη του πρώτου θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού,την οποία και σκέφτηκα να παραθέσω,για να τη δείτε κι εσείς...
Αν και φαίνεται λίγο ''κυκλικός'' ο τρόπος σκέψης (εκεί θα ήθελα τη γνώμη σας),δεν παύει να είναι μια απόδειξή που είναι απαλλαγμένη απο τον ε-δ ορισμό...
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Εστω f συνεχής σε διάστημα Δ και α σημείο του Δ.Τότε για τη συνάρτηση
,ισχύει : 
.
Aπόδειξη
Θεωρούμε τη διαφορά :
, x,x+h σημεία του Δ.
Απο το θεώρημα της μέσης τιμής του ολ.λογισμού προκύπτει πως υπάρχει τουλάχιστον ένας c στο [χ,χ+h],τέτοιος ώστε:
![\displaystyle{\displaystyle
\int\limits_x^{x + h} {f(t)dt} = \left[ {\left( {x + h} \right) - x} \right]f(c) = hf(c)
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9197fe0ec42f4c19d86ea69dfbfc62b7.png "\displaystyle{\displaystyle
\int\limits_x^{x + h} {f(t)dt} = \left[ {\left( {x + h} \right) - x} \right]f(c) = hf(c)
}")
.
Αρα F(x+h)-F(x)=hf(c) , c στο [x,x+h] (Η διαδικασία είναι παρόμοια,ακομή και αν h<0,μόνο που εκέι δουλεύουμε στο [χ+h,χ]).
Διαιρόντας με h>0,λαμβάνουμε :
.
Το σημαντικό είναι πως το χ θεωρείται σταθερό και πως το c τελικά εξαρτάται (είναι συνάρτηση) του h.έστω c(h).
Τότε,όσο το h->0 το c(h)->x ( αφού x<=c(h)<=x+h ) .Οπότε ,λόγω της συνέχειας της f προκύπτει :
.
Aρα έχουμε :
.
Απο το τελευταίο καταλαβαίνουμε πως
,αρα το αποδείξαμε...
Τι λέτε;
βρήκα μια πάρα πολύ ωραία απόδειξη του πρώτου θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού,την οποία και σκέφτηκα να παραθέσω,για να τη δείτε κι εσείς...
Αν και φαίνεται λίγο ''κυκλικός'' ο τρόπος σκέψης (εκεί θα ήθελα τη γνώμη σας),δεν παύει να είναι μια απόδειξή που είναι απαλλαγμένη απο τον ε-δ ορισμό...
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Εστω f συνεχής σε διάστημα Δ και α σημείο του Δ.Τότε για τη συνάρτηση
,ισχύει : .Aπόδειξη
Θεωρούμε τη διαφορά :
, x,x+h σημεία του Δ.Απο το θεώρημα της μέσης τιμής του ολ.λογισμού προκύπτει πως υπάρχει τουλάχιστον ένας c στο [χ,χ+h],τέτοιος ώστε:
.Αρα F(x+h)-F(x)=hf(c) , c στο [x,x+h] (Η διαδικασία είναι παρόμοια,ακομή και αν h<0,μόνο που εκέι δουλεύουμε στο [χ+h,χ]).
Διαιρόντας με h>0,λαμβάνουμε :
.Το σημαντικό είναι πως το χ θεωρείται σταθερό και πως το c τελικά εξαρτάται (είναι συνάρτηση) του h.έστω c(h).
Τότε,όσο το h->0 το c(h)->x ( αφού x<=c(h)<=x+h ) .Οπότε ,λόγω της συνέχειας της f προκύπτει :
.Aρα έχουμε :
.Απο το τελευταίο καταλαβαίνουμε πως
,αρα το αποδείξαμε...Τι λέτε;
![\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) \leqslant \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) \, dt \leqslant \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/20ff8fc8d1a57cdba9313ad2f3668b81.png "\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) \leqslant \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) \, dt \leqslant \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)")
![\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) , \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c4986ca5f95066d3c53d87ae0600f790.png "\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) , \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)")
όταν το 
τείνει στο 
συγκλίνουν στο 
(δηλαδή ότι είναι συνεχείς συναρτήσεις του