mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 15, 2018 3:06 pm**

Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\lim_{s \rightarrow 1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta^2(s)}=-1}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 15, 2018 5:03 pm**

Θα χρησιμοποιήσουμε ως γνωστό το γεγονός ότι $\displaystyle \lim_{s \to 1}(s-1)\zeta(s) = 1$ με την $\zeta(s)$ να είναι ολόμορφη σε μια περιοχή του s=1

εκτός από το s=1

. [Η απόδειξη του θέλει κάποια δουλειά.]

Από αυτό τα πράγματα είναι απλά. Θα έχουμε $\displaystyle \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + f(s)$ όπου η

είναι ολόμορφη σε μια περιοχή του s=1

. Τότε $\zeta'(s) = -\frac{1}{(s-1)^2} + f'(s)$ οπότε είναι και $\displaystyle \lim_{s\to 1} (s-1)^2 \zeta'(s) = -1$ . Άρα

$\displaystyle \lim_{s \to 1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta^2(s)} = \lim_{s \to 1} \frac{(s-1)^2\zeta'(s)}{(s-1)^2\zeta^2(s)} = \lim_{z \to 1}(s-1)^2 \zeta'(s)\lim_{z \to 1} \frac{1}{(s-1)^2 \zeta'(s)} = -1$

mathematica.gr

Παραγωγική ζήτα

Παραγωγική ζήτα

Re: Παραγωγική ζήτα