mathematica.gr • Ανισότητα

Σελίδα 1 από 1

Ανισότητα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 19, 2018 6:41 pm

από Datis-Kalali

Αν

a,b

και

είναι μη-αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε a+b+c=3

a+b+c=3

, να δείξετε ότι $\frac{ab+bc+ca}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{36}$

Re: Ανισότητα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 20, 2018 3:58 pm

από Demetres

Δύσκολη.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $a \geqslant b \geqslant c$ . Θέτω x = a(3-a)

x = a(3-a)

. Τότε

$ab + bc + ca = a(b+c) + bc \geqslant a(b+c) = a(3-a) = x$

$a^3 + b^3 + c^3 \leqslant a^3 + (b+c)^3 = a^3 + (3-a)^3 = 9a^2 - 27a + 27 = 9(3-x)$

$a^3b^3 + b^3c^3+c^3a^3 \leqslant a^3(b+c)^3 = x^3$

Στο τρίτο σημείο χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι $6 = 2a + 2b+2c \geqslant b+c + 2b+2c = 3(b+c)$ . Άρα $b+c \leqslant 2$ και άρα $bc \leqslant (b+c)^2/4 = 1$ . Επίσης είναι $3 = a+b+c \leqslant 3a$ και άρα $a \geqslant 1$ . Βάζοντάς τα όλα μαζί έχουμε

$\displaystyle a^3(b+c)^3 = a^3b^3 + a^3c^3 + 3a^3bc(b+c) \geqaslant a^3b^3 + a^3c^3 + 6a^3b^{3/2}c^{3/2} \geqslant a^3b^3 + a^3c^3 + b^3c^3$

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $\displaystyle 36x \geqslant 9x^3(3-x)$

Ισοδύναμα, αφού $x \geqslant 0$ , θέλουμε $\displaystyle x^3 - 3x^2 + 4\geqslant 0$ το οποίο ισχύει αφού x^3 - 3x^2+4 = (x-2)^2(x+1)

x^3 - 3x^2+4 = (x-2)^2(x+1)

.

Η ανισότητα είναι αυστηρή εκτός και αν επιτρέψουμε ένα από τα a,b,c

a,b,c

να ισούται με

. Τότε έχουμε ισότητα για την τριάδα (2,1,0)

(2,1,0)

καθώς και τις συμμετρικές της.