mathematica.gr • Πρώτοι διαιρούν!

Σελίδα 1 από 1

Πρώτοι διαιρούν!

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 20, 2018 10:36 pm

από Διονύσιος Αδαμόπουλος

Μπορεί να την έχουμε ξαναδεί:

Να βρεθούν όλα τα ζευγάρια πρώτων p, q

p, q

έτσι ώστε

pq|5^p+5^q

.

Re: Πρώτοι διαιρούν!

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm

από min##

Είναι για $p,q\neq 5$ $5^{p-1}+5^{q-1}\equiv 0 modpq$ ,δηλαδή, από FLT-Euler: $\blacksquare$ $5^{q-1}\equiv -1modp$ ,
$5^{p-1}\equiv -1modq$ και $5^{(p-1)(q-1)}\equiv 1 modpq$ .

Αν $-1\equiv 1 modp$ , p=2

p=2

και η αρχική γίνεται
$5^{q}+25\equiv 0modq$ ,από όπου, με FLT

FLT

,παίρνουμε την (p,q)=(2,3)

(p,q)=(2,3)

.

Διαφορετικά,από $\blacksquare$
τα $ord_{p}(5),ord_{q}(5)$ διαιρούν τα 2(q-1),2(p-1)

2(q-1),2(p-1)

,χωρίς να διαιρούν τα q-1,p-1

q-1,p-1

(αντίστοιχα).Όμως, $ord_{p}(5)/p-1,ord_{q}(5)/q-1$ ,και αν $\upsilon_{2} (q-1)=m,\upsilon_{2} (p-1)=n$ ,από τα παραπάνω $m+1=\upsilon_{2}(ord_{p}(5))\leq n$ και ομοίως $n+1 \leq m$ άτοπο.
.Άρα δεν έχουμε λύσεις.

Αν p=5

p=5

, $5^5+5^{q}\equiv 0\equiv 5^4+1 mod5q$ για

σχετικά πρώτο με το 5, ενώ αν q=5

q=5

,δεκτό.Από το τελευταίο έπονται οι λύσεις (p,q)=(5,313),(5,2)

(p,q)=(5,313),(5,2)

.Συνεπώς, συνολικά έχουμε τις (p,q)=(2,3),(5,5),(5,2),(5,313)

(p,q)=(2,3),(5,5),(5,2),(5,313)

και τις ανάποδες...