mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 12, 2018 4:53 pm**

Στις πλευρές ΒΓ,ΓΔ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ με ΑΒ=α παίρνουμε σημεία Ε,Ζ αντίστοιχα. Αν η περίμετρος του τριγώνου ΓΕΖ είναι ίση με 2α, να δείξετε ότι
$\angle EAZ=45$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 12, 2018 5:31 pm**

panagiotis iliopoulos έγραψε: Δευ Μαρ 12, 2018 4:53 pm Στις πλευρές ΒΓ,ΓΔ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ με ΑΒ=α παίρνουμε σημεία Ε,Ζ αντίστοιχα. Αν η περίμετρος του τριγώνου ΓΕΖ είναι ίση με 2α, να δείξετε ότι
$\angle EAZ=45$ .

Χωρίς τριγωνομετρία.

: Τριγ-γεωμ.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

Πρώτα η κατασκευή: Γράφω το τεταρτοκύκλιο (A, a)

και σ' ένα σημείο του

φέρνω την εφαπτομένη που ορίζει στις πλευρές

BC, CD

τα σημεία

Το τρίγωνο CEZ

ικανοποιεί τις υποθέσεις της άσκησης. Πράγματι, ο κύκλος (A, a)

είναι ο

παρεγγεγραμμένος του τριγώνου, οπότε η ημιπερίμετρός του θα είναι s=CB=CD=a,

άρα η περίμετρος 2s=2a.

Τα τμήματα ZD, ZP, EP, EB

είναι εφαπτόμενα του κύκλου, οπότε οι AZ, AE

διχοτομούν τις γωνίες $D\widehat AP, P\widehat AB$

αντίστοιχα. Επομένως, $\displaystyle 2\varphi + 2\omega = {90^0} \Leftrightarrow \varphi + \omega = {45^0} \Leftrightarrow$ $\boxed{E\widehat AZ=45^0}$

mathematica.gr

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ