mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm**

Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω $\alpha>-\frac{3}{4}$ πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }$
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 28, 2018 8:05 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω $\alpha>-\frac{3}{4}$ πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }$
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.

Καλησπέρα,

Μήπως έχει κάποιον επιπλέον περιορσιμό για το $\alpha$ , όπως ότι $a\leq 0$ ;

Για παράδειγμα, για a=1

και

, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, παίρνουμε μιγαδική τιμή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 28, 2018 8:28 pm**

achilleas έγραψε: Τετ Μαρ 28, 2018 8:05 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω $\alpha>-\frac{3}{4}$ πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }$
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.
Καλησπέρα,

Μήπως έχει κάποιον επιπλέον περιορσιμό για το $\alpha$ , όπως ότι $a\leq 0$ ;

Για παράδειγμα, για και , αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, παίρνουμε μιγαδική τιμή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα εμένα μου βγαίνει.Απλά κάπου χρησιμοποιώ τρίτη ρίζα αρνητικού.

Δηλαδή $\sqrt[3]{-a^{3}}=-a$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 29, 2018 1:49 am**

Η άσκηση αυτή είναι ππλύ ωραία. Λύνεται και υψώνοντας και τα 2 μέλη στην τρίτη αλλά χαλάει την ομορφιά της, αλλά και με μια πολύ ωραία ιδιότητα που δεν θα αποκαλύψω για να μην χαλάσω τη μαγεία της!!! Ας προσπαθήσουν οι μικροί μας φίλοι!!

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 29, 2018 10:19 am**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω $\alpha>-\frac{3}{4}$ πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }$
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.

Η παράσταση ορίζεται για $\displaystyle a \in \left( { - \frac{3}{4},0} \right].$ Θέτω $x=\sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}}$ και $y=\sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}}$

Θα χρησιμοποιήσω την ταυτότητα $\displaystyle {x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y)$

$\displaystyle a + 1 = {A^3} - 3\left( { - \frac{a}{3}} \right)A \Leftrightarrow {A^3} + aA - a - 1 = 0 \Leftrightarrow (A - 1)({A^2} + A + a + 1) = 0$

απ' όπου παίρνω $\boxed{A=1}$ Η δεύτερη παρένθεση λόγω των περιορισμών δεν έχει πραγματικές ρίζες.

ΥΓ. Η παράσταση ορίζεται για $\displaystyle a = - \frac{3}{4},$ αλλά αφού ο θεματοδότης όρισε $\displaystyle a > - \frac{3}{4},$ το άφησα έτσι.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 30, 2018 6:52 pm**

Θα χρησιμοποιήσω ταυτότητα Euler. Τα φέρνω όλα μπροστά και έχω άθροισμα τριών αριθμών ίσο με μηδέν.
$A+\left ( -\sqrt[3]{\frac{a+1}{2}+\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} \right )+\left ( -\sqrt[3]{\frac{a+1}{2}-\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} \right )=0$
Συνεπώς το άθροισμα των κύβων τους θα ισούται με το τριπλάσιο γινόμενό τους.
Ύστερα από πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση $A^{^{3}}+Aa-a-1=0\Leftrightarrow (A-1)(A^{^{2}}+A+1)+a(A-1)=0\Leftrightarrow (A-1)(A^{2}+A+a+1)=0$
Οπότε A=1

ή $A^{2}+A+(a+1)=0$ ,τριώνυμο ως προς

με διακρίνουσα -4a-3< 0

αφού $a> -\frac{3}{4}$ .
Άρα η μόνη λύση είναι A=1

που είναι ακέραιος.

mathematica.gr

Ακέραιος

Ακέραιος

Re: Ακέραιος

Re: Ακέραιος

Re: Ακέραιος

Re: Ακέραιος

Re: Ακέραιος