mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 07, 2018 4:52 pm**

Έστω τρίγωνο ABC

και ο περιγεγραμμένος κύκλος του με κέντρο το

. Οι εφαπτόμενες από B, C

τέμνονται στο

. Έστω

το μέσο του

. Η κάθετη από το

στην

τέμνει την εφαπτόμενη από το

και την

στα

αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως το τρίγωνο EMF

είναι ισοσκελές.

Καλή Ανάσταση σε όλους!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 07, 2018 7:21 pm**

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Σάβ Απρ 07, 2018 4:52 pm Έστω τρίγωνο και ο περιγεγραμμένος κύκλος του με κέντρο το . Οι εφαπτόμενες από τέμνονται στο . Έστω το μέσο του . Η κάθετη από το στην τέμνει την εφαπτόμενη από το και την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Καλή Ανάσταση σε όλους!

Θα χρησιμοπίουμε μηγαδικοί αριθμοί.
Έστω ότι τα σημεία στο πρόβλημα είανι μηγαδικοί αριθμοί.
Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC

είναι το μοναδίαιο κύκλο.
Έχουμε ότι $d=\frac{2bc}{b+c} \Rightarrow m=\frac{\frac{bc}{b+c}+a}{2}=\frac{ab+ac+bc}{2(b+c)}$
$\bar m=\frac{\bar{ab}+\bar{ac}+\bar{bc}}{2(\bar{b}+\bar{c})}=\frac{c+b+a}{2ac+2ab}$
Έχουμε τα παρακάτω
1)MO είανι κάθετη στην OF: $\frac{m}{\bar m}= \frac{f}{\bar f}$
2)e είανι πάνω στην εφαπτόμενη απο το Α: $e+a^2 \bar e=2a$
Δηλαδή $e=2a-\frac{a^2 \bar{m}}{m}=e=2a-\frac{a^2(\frac{c+b+a}{2ac+2ab})}{\frac{ab+ac+bc}{2(b+c)}}$
Επίσης έχουμε πως
3) MO είανι κάθετη στην OΕ $\frac{m}{\bar m}= \frac{f}{\bar f}$
4) b,c,f είναι πάνω στην ίδια ευθεία $\frac{b-c}{\bar b -\bar c}=\frac{b-f}{\bar b -\bar f}$
Δηλαδή
$f=\frac{\frac{b}{c}-\frac{c}{b}} {\frac{1}{c}-\frac{1}{b}+\frac{b(\frac{c+b+a}{2ac+2ab})}{\frac{ab+ac+bc}{2(b+c)}} -\frac{c(\frac{c+b+a}{2ac+2ab})}{\frac{ab+ac+bc}{2(b+c)}}}$
Τωρά με εύκολες αλγεβραικές πράξεις προκύπτει e=-f

Δηλαδή

Άρα το τρίγωνο EMF

είναι ισοσκελές

: tangents.JPG (46.21 KiB) Προβλήθηκε 1409 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 07, 2018 7:37 pm**

Καλησπέρα.

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.5cm] \clip(-14.,-8.3) rectangle (11.2,6.7); \fill[line width=0.8pt,color=white,fill=white,fill opacity=0.10000000149011612] (2.190384487963723,5.366910193221686) -- (0.,0.) -- (7.,0.) -- cycle; \draw [line width=0.8pt,color=black] (2.190384487963723,5.366910193221686)-- (0.,0.); \draw [line width=0.8pt,color=black] (0.,0.)-- (7.,0.); \draw [line width=0.8pt,color=black] (7.,0.)-- (2.190384487963723,5.366910193221686); \draw [line width=0.8pt] (3.5,1.7019865391586084) circle (1.945941814358609cm); \draw [line width=0.8pt] (2.190384487963723,5.366910193221686)-- (3.5,-7.197471729744639); \draw [line width=0.8pt] (2.8451922439818613,-0.9152807682614768)-- (3.5,1.7019865391586084); \draw [line width=0.8pt] (-3.3028420336632194,3.403973078317217)-- (10.30284203366322,0.); \draw [line width=0.8pt] (7.,0.)-- (10.30284203366322,0.); \draw [line width=0.8pt] (3.5,-7.197471729744639)-- (7.,0.); \draw [line width=0.8pt] (3.5,-7.197471729744639)-- (0.,0.); \draw [line width=0.8pt] (3.5,1.7019865391586084)-- (3.5,-7.197471729744639); \draw [line width=0.8pt] (3.5,-7.197471729744639)-- (10.30284203366322,0.); \draw [line width=0.8pt] (2.190384487963723,5.366910193221686)-- (3.5,1.7019865391586084); \draw [line width=0.8pt] (2.190384487963723,5.366910193221686)-- (-12.828768794504084,0.); \draw [line width=0.8pt] (-12.828768794504084,0.)-- (0.,0.); \draw [line width=0.8pt] (-12.828768794504084,0.)-- (3.5,-7.197471729744639); \draw [line width=0.8pt] (-12.828768794504084,0.)-- (3.5,1.7019865391586084); \begin{scriptsize} \draw [fill=black] (2.190384487963723,5.366910193221686) circle (1.5pt); \draw (2.050907016363515,6.117590570634495) node {A}; \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.5pt); \draw (-0.532960390381481,-0.24566498328975395) node {B}; \draw [fill=black] (7.,0.) circle (1.5pt); \draw (7.295772200204104,-0.39992572399094795) node {C}; \draw [fill=black] (3.5,-7.197471729744639) circle (1.5pt); \draw (4.133427015829631,-7.148833129668182) node {D}; \draw [fill=black] (3.5,1.7019865391586084) circle (1.5pt); \draw (4.094861830654333,1.0655513126703942) node {O}; \draw [fill=black] (2.8451922439818613,-0.9152807682614768) circle (1.5pt); \draw (2.2437329422400074,-0.7855775757439326) node {M}; \draw [fill=black] (-3.3028420336632194,3.403973078317217) circle (1.5pt); \draw (-3.2325233526523727,4.22789649704487) node {E}; \draw [fill=black] (10.30284203366322,0.) circle (1.5pt); \draw (10.573812940104473,0.5642039053915141) node {F}; \draw [fill=black] (-12.828768794504084,0.) circle (1.5pt); \draw (-12.873819646476985,0.718464646092708) node {G}; \draw [fill=black] (2.5823578491251014,1.6063385078704626) circle (1.5pt); \draw (2.128037386714112,1.1812468681962898) node {H}; \draw [fill=black] (3.5,0.) circle (1.5pt); \draw[color=black] (3.940601089953139,-0.43849090916624633) node {I}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}$

Έστω $G\equiv AE\cap BC,H\equiv GO\cap AD$ και $I\equiv OD\cap BC$ .Είναι γνωστό ότι η

είναι η πολική του

ως προς τον κύκλο (το

ανήκει στην πολική του

,άρα,από το θ. La Hire,και το

ανήκει στην πολική του

.Προφανώς και το

ανήκει στην πολική του

οπότε έχουμε το ζητούμενο).Άρα $GO\perp AD\Rightarrow \hat{GHD}=\hat{GID}=90^{\circ}\Rightarrow GDIH$ εγγράψιμο.Άρα $\displaystyle{\begin{equation} \hat{OGF}=\hat{ODM}\end{equation}}$ .Επιπλέον, $\displaystyle{\hat{MOD}=\hat{OFG}}$ ως γωνίες με πλευρές κάθετες (είναι και οι δύο οξείες).Συμπεραίνουμε ότι $\triangle{ODM}\simeq \triangle{OGF}$ .Παρατηρούμε επίσης ότι $\triangle{AOM}\simeq \triangle{OEG}$ .Πράγματι, $\hat{AMO}=\hat{GOE}$ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών των ομοίων τριγώνων που αναφέραμε παραπάνω,και $\hat{OGE}=\hat{OAM}$ αφού το τρίγωνο $\triangle{GOA}$ είναι ορθογώνιο,και το