mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 19, 2018 9:15 am**

Για ποιες τιμές του $\displaystyle k\in R$ , η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=k{{x}^{2}}-2x\ln x$ , $\displaystyle x>0$
δεν έχει κανένα τοπικό ακρότατο ;

*Για τον τίτλο

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 19, 2018 10:24 am**

exdx έγραψε: Σάβ Μάιος 19, 2018 9:15 am Για ποιες τιμές του $\displaystyle k\in R$ , η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=k{{x}^{2}}-2x\ln x$ , $\displaystyle x>0$
δεν έχει κανένα τοπικό ακρότατο ;

*Για τον τίτλο

...καλημέρα

με μιά γρήγορη ματιά...

Είναι η $\displaystyle f(x)=k{{x}^{2}}-2x\ln x$ παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=2kx-2\ln x-2,\,\,\,x>0$ και $\displaystyle {f}''(x)=2k-2\frac{1}{x}=2(k-\frac{1}{x}),\,\,x>0$

Αν k=0

τότε $\displaystyle {f}''(x)=-\frac{2}{x}<0,\,\,x>0$ και τότε η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα με

${f}'(x)=0\Leftrightarrow -2\ln x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$ άρα η

έχει ακρότατο και μάλιστα μέγιστο στο

$\frac{1}{e}$ Αν $k\ne 0$ τότε με k<0

$\displaystyle {f}''(x)=2(k-\frac{1}{x})<0,\,\,x>0$ και τότε η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα με σύνολο τιμών

${f}'((0,\,\,+\infty ))=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x),\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \right)=(-\infty ,\,+\infty )=R$

άρα έχει μοναδική ρίζα και τότε η

έχει πάλι ακρότατο.

Αν k>0

τότε $\displaystyle {f}''(x)=2(k-\frac{1}{x})=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{k}$ και τότε η $\displaystyle {f}''(x)>0\Leftrightarrow k-\frac{1}{x}>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{k}$

άρα η {f}'

είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle [\frac{1}{k},\,+\infty )$ και $\displaystyle {f}''(x)<0\Leftrightarrow k-\frac{1}{x}<0\Leftrightarrow x<\frac{1}{k}$

άρα η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle (0,\,\frac{1}{k}]$ άρα η {f}'

έχει ελάχιστο το ${f}'(\frac{1}{k})=2-2\ln \frac{1}{k}-2=2\ln k$

δηλαδή $\displaystyle {f}'(x)\ge {f}'(\frac{1}{k})\Leftrightarrow {f}'(x)\ge \ln k$ έτσι τότε για να μη παρουσιάζει ακρότατο πρέπει $\displaystyle {f}'(x)\ge \ln k\ge 0\Leftrightarrow k\ge 1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

mathematica.gr

Catastrophe*

Catastrophe*

Re: Catastrophe*