mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 12:05 am**

Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με συνεχή τρίτη παράγωγο.Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε: $f(a)f'(a)f''(a)f'''(a)\geq 0$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 12:16 am**

Είναι η δεύτερη άσκηση σε λίγη ώρα που δημοσιεύεις και μάλιστα χωρίς τόνους! Μάλλον πρόκειται για άσκηση από τους καθηγητές σου, οπότε μια απλή λύση δεν θα σε ωφελήσει.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 9:29 am**

Αυτή η άσκηση είναι οριακή για το σχολείο επίσης οι τόνοι διορθώνονται εύκολα ακόμη δημοσιεύσω έναν απλό προβληματισμό

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 10:55 am**

neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 12:05 am Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με συνεχή τρίτη παράγωγο.Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε: $f(a)f'(a)f''(a)f'''(a)\geq 0$

Η άσκηση είναι από Putnam βλέπε εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998.pdf
Mια λύση εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998s.pdf

Θεωρείς ότι $f(x) \neq 0 ,f'(x)\neq 0,f''(x)\neq 0,f'''(x)\neq 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Αλλιώς θα ίσχυε ο ισχυρισμός.
Άρα f,f',f'',f'''

διατηρούν πρόσημο.
Μετά πρέπει να αποδείξεις ότι για κάθε $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 2 φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε g,g''

να διατηρούν πρόσημο
ισχύει $g(x)g''(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 11:22 am**

mikemoke έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 10:55 am
neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 12:05 am Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με συνεχή τρίτη παράγωγο.Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε: $f(a)f'(a)f''(a)f'''(a)\geq 0$
Η άσκηση είναι από Putnam βλέπε εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998.pdf
Mια λύση εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998s.pdf

Θεωρείς ότι $f(x) \neq 0 ,f'(x)\neq 0,f''(x)\neq 0,f'''(x)\neq 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Αλλιώς θα ίσχυε ο ισχυρισμός.
Άρα διατηρούν πρόσημο.
Μετά πρέπει να αποδείξεις ότι για κάθε $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 2 φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε να διατηρούν πρόσημο
ισχύει $g(x)g''(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$

Μπορεί να γίνει δουλεύοντας με τα πρόσημα και απορρίπτοντας λόγω κυρτής κοίλης όλες τις περιπτώσεις.
Απλά είναι τρείς τέσσερεις περιπτώσεις.

Ενας ίσως πιο σύντομος τρόπος είναι να γράψουμε

$f(x)f'(x)f''(x)f'''(x)=\frac{1}{4}(f^{2}(x))'((f''(x))^{2})'$

και να χρησιμοποιήσουμε θεωρήματα του τύπου
Αν το όριο της συνάρτησης σε κάποιο άπειρο είναι πεπερασμένο τότε το όριο της παραγώγου.....

Η συνέχεια της τρίτης παραγώγου δεν χρειάζεται.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 11:44 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 11:22 am
mikemoke έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 10:55 am
neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 12:05 am Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με συνεχή τρίτη παράγωγο.Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε: $f(a)f'(a)f''(a)f'''(a)\geq 0$
Η άσκηση είναι από Putnam βλέπε εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998.pdf
Mια λύση εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998s.pdf

Θεωρείς ότι $f(x) \neq 0 ,f'(x)\neq 0,f''(x)\neq 0,f'''(x)\neq 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Αλλιώς θα ίσχυε ο ισχυρισμός.
Άρα διατηρούν πρόσημο.
Μετά πρέπει να αποδείξεις ότι για κάθε $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 2 φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε να διατηρούν πρόσημο
ισχύει $g(x)g''(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$
Μπορεί να γίνει δουλεύοντας με τα πρόσημα και απορρίπτοντας λόγω κυρτής κοίλης όλες τις περιπτώσεις.
Απλά είναι τρείς τέσσερεις περιπτώσεις.

Ενας ίσως πιο σύντομος τρόπος είναι να γράψουμε

$f(x)f'(x)f''(x)f'''(x)=\frac{1}{4}(f^{2}(x))'((f''(x))^{2})'$

και να χρησιμοποιήσουμε θεωρήματα του τύπου
Αν το όριο της συνάρτησης σε κάποιο άπειρο είναι πεπερασμένο τότε το όριο της παραγώγου.....

Η συνέχεια της τρίτης παραγώγου δεν χρειάζεται.

Μήπως μπορείς να το συνεχίσεις;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 12:25 pm**

neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 11:44 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 11:22 am
mikemoke έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 10:55 am
neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 12:05 am Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με συνεχή τρίτη παράγωγο.Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε: $f(a)f'(a)f''(a)f'''(a)\geq 0$
Η άσκηση είναι από Putnam βλέπε εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998.pdf
Mια λύση εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998s.pdf

Θεωρείς ότι $f(x) \neq 0 ,f'(x)\neq 0,f''(x)\neq 0,f'''(x)\neq 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Αλλιώς θα ίσχυε ο ισχυρισμός.
Άρα διατηρούν πρόσημο.
Μετά πρέπει να αποδείξεις ότι για κάθε $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 2 φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε να διατηρούν πρόσημο
ισχύει $g(x)g''(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$
Μπορεί να γίνει δουλεύοντας με τα πρόσημα και απορρίπτοντας λόγω κυρτής κοίλης όλες τις περιπτώσεις.
Απλά είναι τρείς τέσσερεις περιπτώσεις.

Ενας ίσως πιο σύντομος τρόπος είναι να γράψουμε

$f(x)f'(x)f''(x)f'''(x)=\frac{1}{4}(f^{2}(x))'((f''(x))^{2})'$

και να χρησιμοποιήσουμε θεωρήματα του τύπου
Αν το όριο της συνάρτησης σε κάποιο άπειρο είναι πεπερασμένο τότε το όριο της παραγώγου.....

Η συνέχεια της τρίτης παραγώγου δεν χρειάζεται.
Μήπως μπορείς να το συνεχίσεις;

Εγω νομίζω ότι το σωστότερο είναι να το προσπαθήσεις εσύ.

Για δύο λόγους.
Γιατί αυτοί που βάζουν προβλήματα καλό είναι κάπου-κάπου να λύνουν και κανένα .
(βέβαια εσύ είσαι καινούργιος και δεν έχεις δείξει τέτοια συμπεριφορά).
Για να χαρείς ότι υλοποίησες την ιδέα κάποιου.

Αν ''κολλήσεις'' εδώ είμαστε να βοηθήσουμε

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 12:29 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 12:25 pm
neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 11:44 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 11:22 am
mikemoke έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 10:55 am
neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 12:05 am Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με συνεχή τρίτη παράγωγο.Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε: $f(a)f'(a)f''(a)f'''(a)\geq 0$
Η άσκηση είναι από Putnam βλέπε εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998.pdf
Mια λύση εδώ : http://kskedlaya.org/putnam-archive/1998s.pdf

Θεωρείς ότι $f(x) \neq 0 ,f'(x)\neq 0,f''(x)\neq 0,f'''(x)\neq 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Αλλιώς θα ίσχυε ο ισχυρισμός.
Άρα διατηρούν πρόσημο.
Μετά πρέπει να αποδείξεις ότι για κάθε $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 2 φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε να διατηρούν πρόσημο
ισχύει $g(x)g''(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$
Μπορεί να γίνει δουλεύοντας με τα πρόσημα και απορρίπτοντας λόγω κυρτής κοίλης όλες τις περιπτώσεις.
Απλά είναι τρείς τέσσερεις περιπτώσεις.

Ενας ίσως πιο σύντομος τρόπος είναι να γράψουμε

$f(x)f'(x)f''(x)f'''(x)=\frac{1}{4}(f^{2}(x))'((f''(x))^{2})'$

και να χρησιμοποιήσουμε θεωρήματα του τύπου
Αν το όριο της συνάρτησης σε κάποιο άπειρο είναι πεπερασμένο τότε το όριο της παραγώγου.....

Η συνέχεια της τρίτης παραγώγου δεν χρειάζεται.
Μήπως μπορείς να το συνεχίσεις;
Εγω νομίζω ότι το σωστότερο είναι να το προσπαθήσεις εσύ.

Για δύο λόγους.
Γιατί αυτοί που βάζουν προβλήματα καλό είναι κάπου-κάπου να λύνουν και κανένα .
(βέβαια εσύ είσαι καινούργιος και δεν έχεις δείξει τέτοια συμπεριφορά).
Για να χαρείς ότι υλοποίησες την ιδέα κάποιου.

Αν ''κολλήσεις'' εδώ είμαστε να βοηθήσουμε

Θα σου πω εγώ πρώτη φορα βλέπω αυτό το θεώρημα άρα τι να κάνω;Επίσης το έλυσα με περιπτώσεις προσήμων αλλά όχι με αυτό το τρόπο

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 20, 2018 7:48 pm**

neutonas έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 12:29 pm Θα σου πω εγώ πρώτη φορα βλέπω αυτό το θεώρημα άρα τι να κάνω;Επίσης το έλυσα με περιπτώσεις προσήμων αλλά όχι με αυτό το τρόπο

Τέλος πάντων.Το αφήνω για λίγες μέρες και μετά θα γράψω λύση.
Οποιος θέλει προσπαθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 25, 2018 9:43 pm**

Αφού έμεινε ας την κάνω.

Υποθέτουμε ότι για $x\in \mathbb{R}$ είναι $f(x)f'(x)f''(x)f'''(x)=\frac{1}{4}(f^{2}(x))'((f''(x))^{2})'<0$

και θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις λόγω διατήρησης προσήμου.

1)Για $x\in \mathbb{R}$ είναι $(f^{2}(x))'>0$ και $((f''(x))^{2})'<0$

2)Για $x\in \mathbb{R}$ είναι $(f^{2}(x))'<0$ και $((f''(x))^{2})'>0$

Θα κάνω την πρώτη.Η δεύτερη είναι όμοια.

Αφού η $f^{2}(x)$ είναι γνησίως αύξουσα και μη αρνητική θα υπάρχει το όριο της στο $-\infty$
και θα είναι πραγματικός.

Από ΘΜΤ εχω $f(-n)-f(-n-\frac{1}{2})=f'(c_{n})\frac{1}{2}$

οπου $n\in \mathbb{N},-n-\frac{1}{2}< c_{n}< -n$

Προφανώς $\lim_{n\rightarrow \infty }f'(c_{n})=0$

Πάλι από ΘΜΤ είναι $f'(c_{n})-f'(c_{n+1})=(c_{n}-c_{n+1})f''(d_{n})$

και $\lim_{n\rightarrow \infty }d_{n}=-\infty$

Επειδή $\left | c_{n}-c_{n+1} \right |\geq \frac{1}{2}$

παίρνουμε ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }f''(d_{n})=0$ (1)

Αλλά η $(f''(x))^{2}$ είναι γνησίως φθίνουσα οπότε το όριο της στο $-\infty$ θα υπάρχει στο

$\mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$

Λόγω της (1) αυτό θα είναι

οπότε έχουμε ΑΤΟΠΟ.

(Θα πρέπει παντού να είναι

)

Η λύση είναι εκτός φακέλλου αν και νομίζω ότι και όλη η άσκηση είναι.

mathematica.gr

απαιτητικη ασκηση

απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση

Re: απαιτητικη ασκηση