mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 12, 2018 9:19 pm**

: Μικρότερες ακέραιες τιμές.png (17.59 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές

Σε τρίγωνο ABC

είναι

. Φέρνω τη διχοτόμο

και έστω

το μέσο της.

Ας είναι δε

το περίκεντρό του .

Αν $\widehat {DBM} = 45^\circ$ και η

διχοτομεί τη γωνία $\widehat {DAC}$ δείξετε ότι τα b,c

δύνανται να

πάρουν ακέραιες τιμές και βρείτε τις πιο μικρές τιμές τους .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 13, 2018 3:20 pm**

Doloros έγραψε: Τρί Ιουν 12, 2018 9:19 pm Μικρότερες ακέραιες τιμές.png

Σε τρίγωνο είναι . Φέρνω τη διχοτόμο και έστω το μέσο της.

Ας είναι δε το περίκεντρό του .

Αν $\widehat {DBM} = 45^\circ$ και η διχοτομεί τη γωνία $\widehat {DAC}$ δείξετε ότι τα δύνανται να

πάρουν ακέραιες τιμές και βρείτε τις πιο μικρές τιμές τους .

: Min integers.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 1241 φορές

Είναι

και $a=\dfrac{8\sqrt{10}}{5}$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 14, 2018 8:40 am**

Η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

Έστω

το ύψος του τριγώνου και H, N

οι προβολές των M, O

πάνω στη

Από τις διχοτόμους και την παραλληλία AP||OE

εύκολα διαπιστώνουμε ότι AD=AB=c

(

ύψος και διχοτόμος) και

AE=AQC=b.

Είναι ακόμα $MH=BH=\dfrac{3BD}{4}$ και $\displaystyle A\widehat EC = \widehat B = A\widehat DB = C\widehat DE \Leftrightarrow$ $\boxed{CE = DC = \frac{{ab}}{{b + c}}}$

: Min integers.ΙΙ.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 1189 φορές

$\displaystyle \frac{{NE}}{{DN}} = \frac{{MH}}{{HD}} = 3 \Leftrightarrow NE = 3\left( {\frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{NE = \frac{{3a(b - c)}}{{2(b + c)}}}$ και από Π. Θ στο NEC:

$\displaystyle \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{{(b + c)}^2}}} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}{{(b - c)}^2}}}{{4{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow 3{\left( {\frac{b}{c}} \right)^2} - 8\frac{b}{c} + 5 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{b > c}$ $\boxed{\frac{b}{c} = \frac{5}{3}}$ Άρα οι b,c

μπορούν

να πάρουν ακέραιες τιμές b=5k,c=3k,

όπου

θετικός ακέραιος. Οι πιο μικρές τιμές τους είναι $\boxed{b=5, c=3}$

Παρατήρηση: Για b=5, c=3,

με Stewart στο τρίγωνο BEC

(τέμνουσα

) βρίσκουμε ότι $\displaystyle a = \frac{{8\sqrt {10} }}{5}$

mathematica.gr

Μικρότερες ακέραιες τιμές

Μικρότερες ακέραιες τιμές

Re: Μικρότερες ακέραιες τιμές

Re: Μικρότερες ακέραιες τιμές