Σελίδα 1 από 1
Ολοκλήρωμα...
Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 07, 2018 3:17 pm
από M.S.Vovos
Ένα ολοκλήρωμα που προέκυψε ψάχνοντας στο διαδίκτυο.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
Φιλικά,
Μάριος
Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχει ξανασυζητηθεί.
Re: Ολοκλήρωμα...
Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 07, 2018 5:01 pm
από Tolaso J Kos
M.S.Vovos έγραψε: Τρί Αύγ 07, 2018 3:17 pm
Ένα ολοκλήρωμα που προέκυψε ψάχνοντας στο διαδίκτυο.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
Φιλικά,
Μάριος
Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχει ξανασυζητηθεί.
Λίγο δύσκολο να μην είχε ξανά συζητηθεί το συγκεκριμένο. Το χα προτείνει προσωπικά πριν 
χρόνια. Από το να ψάξω να το βρω προτιμώ να γράψω μία λύση.
![\displaystyle{\begin{aligned}
\mathcal{J} &= \int_{0}^{1} \ln x \ln \left ( 1-x \right ) \, \mathrm{d}x\\
&=-\int_{0}^{1} \ln x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \, \mathrm{d}x \\
&=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} x^n \ln x \, \mathrm{d}x \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left ( n+1 \right )^2} \\
&=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right ] \\
&= \cancelto{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ]} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( n+1 \right )^2} \\
& = 1 - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\
& = 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + 1 \\
& = 2 - \zeta(2) \\
& = 2 - \frac{\pi^2}{6}
\end{aligned} }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/134029cae4bc762aa4ce8295125ad8f6.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\mathcal{J} &= \int_{0}^{1} \ln x \ln \left ( 1-x \right ) \, \mathrm{d}x\\
&=-\int_{0}^{1} \ln x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \, \mathrm{d}x \\
&=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} x^n \ln x \, \mathrm{d}x \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left ( n+1 \right )^2} \\
&=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right ] \\
&= \cancelto{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ]} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( n+1 \right )^2} \\
& = 1 - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\
& = 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + 1 \\
& = 2 - \zeta(2) \\
& = 2 - \frac{\pi^2}{6}
\end{aligned} }")
Re: Ολοκλήρωμα...
Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 07, 2018 11:02 pm
από M.S.Vovos
Ναι Τόλη αυτή τη λύση είχα και εγώ στο μυαλό μου. Ομορφουλικο είναι κατά τη γνώμη μου.