mathematica.gr

παιδιά αποφασίζουν να παίξουν ένα παιχνίδι. Αρχίζουν φτιάχνοντας ένα τετράγωνο πλευράς μήκους που το χωρίζουν με παράλληλες προς τις πλευρές σε ίσα τετράγωνα(τα ονομάζουμε ). Τα 2 παιδιά διαλέγουν να αρχίσουν από μία κορυφή του αρχικού τετραγώνου. Το παιχνίδι παίζεται ως εξής. Και οι 2 παίζουν με σειρά μία ο ένας και μετά μία ο άλλος. Από την κορυφή που βρίσκονται μπορούν να πάνε στην δίπλα κορυφή των τετραγώνων δηλαδή κινούνται πάνω στις ευθείες που έχουν δημιουργήσει, από κορυφή σε κορυφή, και ζωγραφίζουν με το χρώμα τους την διαδρομή που ακολουθούν. Μία διαδρομή την φορά. Στον επόμενο γύρο του συνεχίζει από την κορυφή που είχε πάει στον προηγούμενο γύρο του. Όταν μια κορυφή είναι ζωγραφισμένη δεν μπορεί να περάσει κανένας ξανά από αυτήν την κορυφή. Όταν ζωγραφίσουν και τις τέσσερις κορυφές από κάποιο τετράγωνο τύπου πέρνουν πόντο και φυσικά ο νικήτης θα είναι αυτοός με τους περισσότερους. Το παιχνίδι τελειώνει μόνο όταν και οι δεν μπορούν να κάνουν καμία κίνηση. Αν ο ένας κλειστεί τότε περιμένει τον άλλο μέχρι να τελειώσει. Να αποδείξεται πως ο ος που θα παίξει έχει στρατηγική νίκης.

Xriiiiistos έγραψε: Πέμ Αύγ 09, 2018 2:44 pm παιδιά αποφασίζουν να παίξουν ένα παιχνίδι. Αρχίζουν φτιάχνοντας ένα τετράγωνο πλευράς μήκους που το χωρίζουν με παράλληλες προς τις πλευρές σε ίσα τετράγωνα(τα ονομάζουμε ). Τα 2 παιδιά διαλέγουν να αρχίσουν από μία κορυφή του αρχικού τετραγώνου. Το παιχνίδι παίζεται ως εξής. Και οι 2 παίζουν με σειρά μία ο ένας και μετά μία ο άλλος. Από την κορυφή που βρίσκονται μπορούν να πάνε στην δίπλα κορυφή των τετραγώνων δηλαδή κινούνται πάνω στις ευθείες που έχουν δημιουργήσει, από κορυφή σε κορυφή, και ζωγραφίζουν με το χρώμα τους την διαδρομή που ακολουθούν. Μία διαδρομή την φορά. Στον επόμενο γύρο του συνεχίζει από την κορυφή που είχε πάει στον προηγούμενο γύρο του. Όταν μια κορυφή είναι ζωγραφισμένη δεν μπορεί να περάσει κανένας ξανά από αυτήν την κορυφή. Όταν ζωγραφίσουν και τις τέσσερις κορυφές από κάποιο τετράγωνο τύπου πέρνουν πόντο και φυσικά ο νικήτης θα είναι αυτοός με τους περισσότερους. Το παιχνίδι τελειώνει μόνο όταν και οι δεν μπορούν να κάνουν καμία κίνηση. Αν ο ένας κλειστεί τότε περιμένει τον άλλο μέχρι να τελειώσει. Να αποδείξεται πως ο ος που θα παίξει έχει στρατηγική νίκης.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το τετράγωνο πάνω στο οποίο παίζουν οι 2 φίλοι το παιγνίδι τους.
Έστω η κορυφή του τετραγώνου από την οποία αρχίζουν.
Παρατηρούμε πως ο αν ο παίκτης 1(ο παίκτης ο οποίος παίζει πρώτος και του οποίου η πορεία σημειώνεται με πορτοκαλή χρώμα ) κινηθεί στο Λ (φυσικά ολόκληρη η παρακάτω διαδικασία θα έφερε το ίδιο αποτέλεσμα εαν επέλεγε το κσι ακολουθούσε την ίδια μέθοδο)τότε ο παίκτης 2(ο παίκτης ο οποίος παίζει δεύτερος και του οποίου η πορεία σημειώνεται με πράσινο χρώμα ) θα πρέπει να κινηθεί στο .
Έπειτα ο παίκτης 1 πάει από το Λ στο ο παίκτης 2 από σε αναγκαστικά και πάει λέγοντας μέχρι το βήμα 5 στο οποίο ο παίκτης 2 έχει κλειστεί ,μια κατάσταση την οποία δεν θα μπορούσε ποτέ να αποτρέψει όσο παίζει δεύτερος και παίκτης 1 ακολουθεί την παραπάνω στρατηγική .Έτσι ο παίκτης 1 αφήνει τον 2 εκεί που είναι και κερδίζει μόνος του το παιχνίδι από την στιγμή που θα πάρει έστω και 1 πόντο .

Δεν το διευκρίνισα οπότε θα το κάνω τώρα. Με τις ίδιες συνθήκες να αποδειχθεί αν τα άτομα αρχίζουν από όποιο κορυφή του θέλουν ανεξαρτήτως τι θα διαλέξει ο άλλος

Έστω ότι ο παίκτης ξεκινά από το .Έχει μείνει να ελέγξουμε τις περιπτώσεις στις οποίες ο παίκτης ξεκινά από τα και (την περίπτωση να ξεκινά από το είναι η ίδια με το να ξεκινά από το ).

• Ξεκινά από το
  Έστω ότι ο παίκτης 1 πάει στο έχουμε:
  
  i)O παίκτης 2 πάει στο .Τότε ο παίκτης 1 πάει στο και έχουμε:
  
  iα) Ο παίκτης 2 πάει στο έτσι ο παίκτης 1 πάει στο και κέρδισε αφού ο παίκτης 2 δεν μπορεί να πάει πουθενά και ο ίδιος μπορεί να πάρει πόντο.
  
  iβ)Ο παίκτης 2 πάει στο .Τότε ο παίκτης 1 πάει στο και έχουμε:
  
  β1)Ο παίκτης 2 πάει στο .Ο παίκτης 1 πάει στο και ο παίκτης 2 αναγκαστικά πάει στο .O παίκτης 1 πάει στο και ο παίκτης 2 πάει στο .Ο παίκτης 1 πάει στο και κέρδισε.
  
  β2)Ο παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτης 1 στο .
  
  2i)O παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτης 1 στο .Αν στη συνέχεια ο παίκτης 2 πάει στο θα χάσει.Έτσι πάει στο και ο παίκτης 1 θα πάει στο και νίκησε.
  
  2ii) Ο παίκτης 2 θα πάει στο και ο παίκτης 1 στο
  
  iiα) Ο παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτη 1 στο .Έπειτα εαν ο παίκτης 2 πάει στο τότε ο πάικτης 1 θα πάει στο κι έτσι πάλι ο παίκτης 2 θα χάσει αφού μετά από λίγες κινήσεις θα κλειστεί.Άρα ο παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτης 1 στο . Ο παίκτης 2 μπορεί να πάει μόνο στην θέση έχοντας μαζέψει 3 πόντους και θα κλειστεί .Έτσι ο παίκτης 1 θα κερδίσει ακολουθώντας την διαδρομή μαζεύοντας 4 πόντους .
  
  iiβ)Ο παίκτης 2 θα πάει στο και ο παίκτης 1 στο .Έπειτα το μόνο που μπορεί να κάνει ο παίκτης 2 είναι να ακολουθήσει την πορεία μαζεύοντας 4 πόντους.Ο παίκτης 1 ακολουθεί την πορεία και κερδίζει.
  
  ii) O παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτης 1 στο .
  
  α)Ο παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτης 1 στο .
  
  1)Εαν ο παίκτης 2 πάει στο τότε χάνει .
  
  2)O παίκτης 2 πάει στη και ο παίκτης 1 στη θέση .
  
  2i)O παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτης 1 στην .
  
  i1)O παίκτης 2 πάει στο και ο παίκτης 1 στη .Την συνέχεια σε αυτή τη περίπτωση την έχουμε αναλύσει πιο πάνω , ο παίκτης 2 πάλι θα χάσει.
  
  i2)O παίκτης 2 πάει στην και ο παίκτης 1 στην .Την συνέχεια σε αυτή τη περίπτωση την έχουμε αναλύσει πιο πάνω , ο παίκτης 2 πάλι θα χάσει.
  
  2ii) O παίκτης 2 θα πάει στην και ο παίκτης 1 στη .O παίκτης 2 πάει στην και ο παίκτης 1 στην .O παίκτης 2 θα πάει στην C και ο πάικτης και θα νικήσει εύκολα.
  Έτσι μένει μόνο η περίπτωση να ξεκινά από το ο παίκτης 2 την οποία την αφήνω γιατί είναι λίγο αργά....

Το θέμα είναι να προσπαθήσουμε να τα γράψουμε και πιο συμμαζεμένα.

Έστω ότι ο πρώτος αρχίζει από το και ο δεύτερος από το . Στο σχήμα του Πρόδρομου ο πρώτος παίκτης πάει διαδοχικά στα . Μπορεί επειδή θέλει λιγότερες ή ίσες κινήσεις από τον άλλο παίκτη για να φτάσει σε αυτά και παίζει πάντα πρώτος. Ακολούθως πάει στα . Παίρνει συνολικά πόντους ενώ ο δεύτερος παίκτης παίρνει το πολύ .

Έστω ότι ο πρώτος αρχίζει από το και ο δεύτερος από το . Ο πρώτος παίκτης πάει διαδοχικά στα . Μετά την τέταρτη κίνηση ο δεύτερος παίκτης πάτησε σίγουρα σε ένα από τα . Επίσης αν πάτησε σε ένα από τα τότε δεν πάτησε στα και επιπλέον θέλει τουλάχιστον δύο κινήσεις αν θέλει να φτάσει στο . [Έκανε σίγουρα δύο πάνω, πρέπει σίγουρα να κάνει και δύο κάτω και δύο αριστερά.] Ομοίως, αν πάτησε σε ένα από τα τότε δεν πάτησε στα και επιπλέον θέλει τουλάχιστον δύο κινήσεις αν θέλει να φτάσει στο .

Στην μία περίπτωση ο πρώτος παίκτης παίρνει τα και μετά μπορεί εύκολα να πάρει τουλάχιστον 6 πόντους από το αριστερό κομμάτι του τετραγώνου. Ο δεύτερος παίκτης μπορεί να πάρει το πολύ .

Στην δεύτερη περίπτωση ο πρώτος παίκτης μπορεί να πάρει πόντους από το πάνω κομμάτι ενώ ο δεύτερος το πολύ .

Άρα πάλι κερδίζει ο πρώτος παίκτης.