mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 12, 2018 2:19 pm**

Δίνεται τρίγωνο ABC

και το

είναι το ορθόκεντρο του. Να αποδείξετε πως οι ευθείες του Euler των τριγώνων AHB,BHC,CHA

συντρέχουν.

Δεν έχω λύση για την άσκηση

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 12, 2018 3:13 pm**

Με

τα περίκέντρα των BCH,ACH,ABH

αρκεί οι

να συντρέχουν που προκύπτει άμεσα από την ομοιοθεσία των ABC,OO'O''

...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 12, 2018 4:55 pm**

Xriiiiistos έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 2:19 pm Δίνεται τρίγωνο και το είναι το ορθόκεντρο του. Να αποδείξετε πως οι ευθείες του Euler των τριγώνων συντρέχουν.

Δεν έχω λύση για την άσκηση

: Ευθείες Euler.png (38.76 KiB) Προβλήθηκε 1817 φορές

Είναι γνωστό ότι τα τρίγωνα ABC, AHB, BHC, AHC

έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler

και ίσους περίκυκλους.

Έτσι αν

είναι το μέσο της

και

τα περίκεντρα των ABC, BHC

τότε

Άρα

το ANO_1M

είναι παραλληλόγραμμο και το κέντρο E_9

του κύκλου του Euler

είναι το μέσο του AO_1

που είναι η ευθεία

του Euler

του τριγώνου BHC.

Ομοίως και οι ευθείες του Euler

των άλλων δύο τριγώνων διέρχονται από το E_9.

ΥΓ. Στο παραπάνω σχήμα το συμβολίζει το κέντρο του κύκλου του και δεν έχει καμία σχέση με το φορολογικό
έντυπο περί δηλώσεως ακινήτων

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 12, 2018 6:07 pm**

Να πούμε επιπλέον ότι και οι $AF_{1},BF_{2},CF_{3}$ (,με $F_{1}$ το περίκεντρο του BOC

και ομοίως και για τα άλλα) συντρέχουν και μάλιστα στο ισογώνιο συζυγές του $E_{9}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 27, 2018 4:12 pm**

Για να δούμε καμιά απόδειξη για το παραπάνω..

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 28, 2018 1:28 am**

min## έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 6:07 pm Να πούμε επιπλέον ότι και οι $AF_{1},BF_{2},CF_{3}$ (,με $F_{1}$ το περίκεντρο του και ομοίως και για τα άλλα) συντρέχουν και μάλιστα στο ισογώνιο συζυγές του $E_{9}$ .

: Οι ευθείες του Euler.png (36.99 KiB) Προβλήθηκε 1610 φορές

Ενδιαφέρον!

Πρακτικά αρκεί να αποδείξουμε πως η AF_1

είναι ισογώνια της AE_9

ως προς το τρίγωνο ABC

.

Επειδή οι

και

είναι ισογώνιες, αρκεί οι AF_1

και

να είναι ισογώνιες στο τρίγωνο AHO

.

Είναι γνωστό πως το E_9

είναι το μέσο του

.

Επομένως αρκεί να αποδειχθεί πως η AF_1

είναι η συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο AHO

.

Έστω

ο περιγεγραμμένος κύκλος του AHO

. Φέρνουμε από το

εφαπτόμενη στον

και έστω πως τέμνει την OF_1

στο

.

Ισχύει από πολικές το εξής λήμμα:

Έστω τρίγωνο ABC

. Τότε οι

, η συμμετροδιάμεσος της κορυφής

και η εφαπτόμενη από το

συνιστούν αρμονική δέσμη.

Οπότε αρκεί να αποδειχθεί πως η δέσμη A(H, O, F_1, K)

είναι αρμονική.

Όμως ισχύει ότι AH//F_1K

, οπότε αρκεί OF_1=OK

!

Παρατηρούμε πως τα τρίγωνα AHO

και

είναι όμοια, αφού $\widehat{HAO}=\widehat{AOK}$ (από τις παράλληλες

και

) και $\widehat{OHA}=\widehat{OAK}$ από την εφαπτομένη

.

Οπότε $AH\cdot OK=AO^2\Leftrightarrow 2OK=\dfrac{2AO^2}{AH}$ .

Εκτελώντας όμως νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο BOC

συμπεραίνουμε πως $2OF_1=\dfrac{AO}{\sin{\widehat{OBC}}}$ .

Άρα αρκεί να αποδειχθεί πως:

$AO\cdot \sin{\widehat{OBC}}=\dfrac{AH}{2}\Leftrightarrow AO\cdot \sin{\widehat{OBC}}=OM$ , όπου

το μέσο της

, που ισχύει!