mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 19, 2018 12:40 am**

: GEOMETRIA203=FB2204.png (37.88 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Σημείο

διατρέχει την βάση

ισοπλεύρου τριγώνου ABC

.

a. Αν (K,R), (L,r)

οι έγκυκλοι των τριγώνων ABP, APC

, δείξτε ότι (AKL)=(BKLC)

b. Βρείτε τη θέση του

(το λόγο $\frac{BP}{BC}$ ), ώστε $\hat{AKL}=90^o$ και σ'αυτή την περίπτωση το λόγο των ακτίνων $\frac{R}{r}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 24, 2018 10:35 am**

sakis1963 έγραψε: Κυρ Αύγ 19, 2018 12:40 am Σημείο διατρέχει την βάση ισοπλεύρου τριγώνου .

a. Αν οι έγκυκλοι των τριγώνων , δείξτε ότι

b. Βρείτε τη θέση του (το λόγο $\frac{BP}{BC}$ ), ώστε $\hat{AKL}=90^o$ και σ'αυτή την περίπτωση το λόγο των ακτίνων $\frac{R}{r}$

Σάκη καλημέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα όπου σημειώθηκαν και κάποια προφανή στοιχεία:

: Ισότητα εμβαδών 1.png (31.1 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

α) Ζητούμε τη σχέση:

$\displaystyle{(AKL)=(BKLC) \ \ (1)}$

Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{(AKL)}$ είναι:

$\displaystyle{(AKL)=\frac{1}{2}(AS)(R+r) \ \ (2)}$

Το εμβαδόν επίσης του μικτόγραμμου τμήματος $\displaystyle{(BKLC)}$ είναι:

$\displaystyle{(BKLC)=(BDK)+(KDHL)+(HLC)=\frac{1}{2}R^2 \sqrt{3}+\frac{1}{2}(R+r)(DH)+\frac{1}{2}r^2 \sqrt{3} \ \ (3)}$

Ακόμα, επειδή είναι:

$\displaystyle{\frac{ES}{SZ}=\frac{r}{R} \ \ (4)}$

θα είναι:

$\displaystyle{(AS)=\frac{R(AE)+r(AZ)}{R+r} \ \ (5) }$

κι ακόμα:

$\displaystyle{(AE)=(AT)=a-r\sqrt{3},\ \ (AZ)=(AQ)=a-R\sqrt{3} \ \ (6)}$

η σχέση (5) γίνεται:

$\displaystyle{(AS)=\frac{R(a-r \sqrt{3})+r(a-R \sqrt{3})}{R+r}=\frac{a(R+r)-2rR\sqrt{3}}{R+r} \ \ (7)}$

Από την (7) η σχέση (2) γίνεται:

$\displaystyle{(AKL)=\frac{1}{2}[a(R+r)-2rR \sqrt{3} \ \ (8) }$

Επίσης επειδή:

$\displaystyle{(DH)=a-(R+r)\sqrt{3} \ \ (9) }$

ο τύπος (3) γίνεται:

$\displaystyle{(BKLC)=\frac{1}{2}R^2 \sqrt{3}+\frac{1}{2}(R+r)(a-(R+r) \sqrt{3})+\frac{1}{2}r^2 \sqrt{3} \ \ (10) }$

Αντικαθιστώντας τις τιμές των εμβαδών από τις σχέσεις (8) και (10) στη ζητούμενη (1)
προκύπτει η αλήθεια της (1).

Το ερώτημα (b) σε επόμενο μήνυμα...

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

Ισότητα εμβαδών, λόγος τμημάτων & ορθογώνιο σε ισόπλευρο

Ισότητα εμβαδών, λόγος τμημάτων & ορθογώνιο σε ισόπλευρο

Re: Ισότητα εμβαδών, λόγος τμημάτων & ορθογώνιο σε ισόπλευρο