mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 19, 2018 9:20 am**

: Γεωμετρικός μέσος και γωνία.png (7.64 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , η διάμεσος

είναι ο γεωμετρικός

μέσος των πλευρών AB,AC

. Δείξτε ότι : $\widehat{AMB}<45^0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 19, 2018 10:47 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 19, 2018 9:20 am Γεωμετρικός μέσος και γωνία.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , η διάμεσος είναι ο γεωμετρικός

μέσος των πλευρών . Δείξτε ότι : $\widehat{AMB}<45^0$ .

Είναι, $\displaystyle bc = A{M^2} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{a=(b-c)\sqrt 2}$ (1)

Ν. συνημιτόνων στο AMB:

$\displaystyle {c^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + bc - a\sqrt {bc} \cos \theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 2\sqrt 2 (b - c)\sqrt {bc} \cos \theta = {b^2} - {c^2} \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{{b + c}}{{2\sqrt 2 \sqrt {bc} }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{b \ne c}$

$\displaystyle \cos \theta > \frac{{2\sqrt {bc} }}{{2\sqrt 2 \sqrt {bc} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},$ απ' όπου λόγω μονοτονίας προκύπτει το ζητούμενο.

mathematica.gr

Γεωμετρικός μέσος και γωνία

Γεωμετρικός μέσος και γωνία

Re: Γεωμετρικός μέσος και γωνία