Απλά επιπεδομετρία
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 16, 2018 4:03 pm
Δίνεται τρίγωνο 
και έστω 
το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με την πλευρά 
. Εξετάζουμε δυο κύλους, που εφάπτονται της ευθείας , της ημιευθείας 
και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (βλέπε σχήμα). Να αποδείξετε, ότι οι ακτίνες τους είναι ίσες.
Πηγή: "Μαθηματική Εκπαίδευση" σειρά 3, τεύχος 1, 1997 (κράτησα το τίτλο της πηγής).
και έστω το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με την πλευρά . Εξετάζουμε δυο κύλους, που εφάπτονται της ευθείας , της ημιευθείας και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (βλέπε σχήμα). Να αποδείξετε, ότι οι ακτίνες τους είναι ίσες.- apla_epipedometria.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 1675 φορές
Πηγή: "Μαθηματική Εκπαίδευση" σειρά 3, τεύχος 1, 1997 (κράτησα το τίτλο της πηγής).
το κέντρο του αριστερού και του δεξιού κύκλου αντίστοιχα.Έστω 
οι επαφές του αριστερού με τις 
και αντίστοιχα ορισμένα τα 
.Από ομοιοθεσία,οι 
τεμνονται στο κέντρο 
του 
,ενώ οι 
στο μέσο 
του τόξου 
.Η πολική του 
ως προς τον 
.Από αντίστροφη της σχέσης 
αρκεί 
,και επειδή η 
(με 
τομή 
,αρκεί το 
να βγει εγγράψιμο,το οποίο είναι άμεσο από 
κλπ.Άρα η 
είναι η πολική του 
και το ζητούμενο έπεται...
, 
, 
, 
η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και 
, 
οι ακτίνες των εφαπτόμενων κύκλων, τότε 
. Αυτό μπορεί να βοηθήσει στην εύρεση απλούστερης συνθετικής λύσης, και 'φανερώνεται' αναλυτικώς από τις εξισώσεις![\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}+r(c-b)}{2bc}\right)p-\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c0b53664f1ae350146f6f76629f39b10.png "\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}+r(c-b)}{2bc}\right)p-\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2")
![\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}-r(c-b)}{2bc}\right)q+\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/147b0ef54028ce6536a95ef3b6de9f66.png "\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}-r(c-b)}{2bc}\right)q+\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2")
τα σημεία επαφής των δύο κύκλων με την βάση 
.
, 
... κείνται επί κωνικής το κέντρο της οποίας αποτελεί νέο 'κέντρο τριγώνου': πολύ πρόσφατο αποτέλεσμα του Cesar Lozada, κάποιες λεπτομέρειες