mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 09, 2018 7:32 am**

: shape.png (10.48 KiB) Προβλήθηκε 1657 φορές

Στο τετράγωνο, πλευράς

, του παραπάνω σχήματος δίνονται: $\angle BEC = \angle EKB = {90^ \circ }$ , $\angle ECZ = \angle KCZ,\,DZ = a,\,BK = 2$ και ζητείται το τμήμα BE = x

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 09, 2018 10:22 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τρί Οκτ 09, 2018 7:32 am shape.pngΣτο τετράγωνο, πλευράς , του παραπάνω σχήματος δίνονται: $\angle BEC = \angle EKB = {90^ \circ }$ , $\angle ECZ = \angle KCZ,\,DZ = a,\,BK = 2$ και ζητείται το τμήμα

Καλημέρα σε όλους!

: Για καλούς μαθητές.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 1621 φορές

Έστω $\displaystyle E\widehat CZ = Z\widehat CK = \theta ,D\widehat CE = \varphi.$ Τότε είναι $\displaystyle \varphi + 2\theta = 90^\circ$ και $\displaystyle D\widehat ZC = D\widehat CZ = \varphi + \theta.$

$\displaystyle D\widehat ZH = 180^\circ - (D\widehat ZC + C\widehat ZK) = 180^\circ - (\varphi + \theta + 90^\circ - \theta ) = 90^\circ - \varphi = 2\theta$

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα DHZ, BEC

είναι ίσα και $\displaystyle x = DH = a - 2 \Leftrightarrow a = x + 2$

$\displaystyle \eta \mu 2\theta = \frac{x}{a} = \frac{2}{x} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 2}} = \frac{2}{x} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0,$ απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα $\boxed{x=\sqrt 5+1}$

ΥΓ. Θα συμπλήρωνα για πολύ καλούς μαθητές! Πιστεύω ότι η πλειοψηφία των μαθητών της Β' Λυκείου θα δυσκολευόταν αρκετά!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 09, 2018 2:44 pm**

: Για πολύ καλούς μαθητές.png (29.08 KiB) Προβλήθηκε 1574 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των $DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC$ . Επειδή λόγω του ισοσκελούς τριγώνου DZC

και της παραλληλίας των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EK$ έχω : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\ \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} CK = CL \hfill \\ DZ \bot CE \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Αλλά μ’ αυτά τα ορθογώνια τρίγωνα : $LDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ECB$ είναι ίσα οπότε: $\boxed{CK = LC = EB = x}$ .

Μετά απ’ αυτά από το Θ. Ευκλείδη ( η από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $EBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KBE$ ) έχω :

$E{B^2} = BK \cdot BC \Rightarrow {x^2} = 2(x + 2) \Rightarrow \boxed{x = 1 + \sqrt 5 }$

mathematica.gr

Για καλούς μαθητές

Για καλούς μαθητές

Re: Για καλούς μαθητές

Re: Για καλούς μαθητές