mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 13, 2018 11:03 am**

Έστω $\vec{a},\vec{b}\neq \vec{0}$ και υπάρχει

πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε $|\vec{a}+l\vec{b}|=1$ . Να δείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου OACB

με $\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$ είναι μικρότερο ή ίσο του $|\vec{b}|$ .

Να λυθεί χωρίς την χρήση εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 13, 2018 10:12 pm**

ann79 έγραψε: Σάβ Οκτ 13, 2018 11:03 am Έστω $\vec{a},\vec{b}\neq \vec{0}$ και υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε $|\vec{a}+l\vec{b}|=1$ . Να δείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με $\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$ είναι μικρότερο ή ίσο του $|\vec{b}|$ .

Να λυθεί χωρίς την χρήση εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων.

Καλησπέρα.
Νομίζω ότι ο β΄τρόπος που υπάρχει στις "Λύσεις των ασκήσεων" είναι αυτό που ζητάμε.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 14, 2018 8:51 am**

Καλημέρα σε όλους.

Επειδή νομίζω ότι η γεωμετρική ερμηνεία και συντομότερη είναι και έχει πολλαπλάσια διδακτική αξία της (ομολογουμένως έξυπνης) αλγεβρικής λύσης με πρόσημο Διακρίνουσας, δίνω εδώ το σχήμα της.

: 14-10-2018 Γεωμετρία.png (41.94 KiB) Προβλήθηκε 1528 φορές

Υπάρχει σημείο

στην ευθεία που ορίζουν τα O, B

ώστε το παραλληλόγραμμο OB’C’A

να έχει διαγώνιο OC’ = 1

,

άρα η απόσταση

των

και

είναι μικρότερη ή ίση του

.

Αυτό συμβαίνει και στο παραλληλόγραμμο OACB

, αφού τα

είναι συγγραμμικά. Άρα είναι $\displaystyle \left( {OACB} \right) = \left| {\vec b} \right| \cdot d \le \left| {\vec b} \right|$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 14, 2018 9:45 am**

: geogebra-export (1) (1).png (150.67 KiB) Προβλήθηκε 1511 φορές

$\vec{OC}=\vec{a}+\vec{b}$
$|\right\vec{BD}\left|\leq \left | \vec{b} \right |$

ως κάθετη πλευρά με την ισότητα να ισχύει για ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

$\left ( OACB \right )=2\left ( ODC \right )=2\frac{1}{2}\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\left | \vec{DB} \right |=\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\left | \vec{DB} \right |\leq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |\left | \vec{b} \right |$

$\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\leq \left | \vec{a}+l\vec{b} \right |=1$

με την ισότητα να ισχύει για l=1

Άρα

$(OACB)=\left | \vec{a}+\vec{b} \right \|\left | \vec{b} \right |\leq \left | \vec{a}+\vec{lb} \right \|\left | \vec{b} \right |\leq \left | \vec{b} \right |$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 14, 2018 7:17 pm**

Ratio έγραψε: Κυρ Οκτ 14, 2018 9:45 am geogebra-export (1) (1).png

$\vec{OC}=\vec{a}+\vec{b}$
$|\right\vec{BD}\left|\leq \left | \vec{b} \right |$

ως κάθετη πλευρά με την ισότητα να ισχύει για ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

$\left ( OACB \right )=2\left ( ODC \right )=2\frac{1}{2}\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\left | \vec{DB} \right |=\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\left | \vec{DB} \right |\leq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |\left | \vec{b} \right |$

$\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\leq \left | \vec{a}+l\vec{b} \right |=1$

με την ισότητα να ισχύει για

Άρα

$(OACB)=\left | \vec{a}+\vec{b} \right \|\left | \vec{b} \right |\leq \left | \vec{a}+\vec{lb} \right \|\left | \vec{b} \right |\leq \left | \vec{b} \right |$

Δεν βλέπω από που προκύπτει το

$\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\leq \left | \vec{a}+l\vec{b} \right |=1$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 14, 2018 9:19 pm**

Επειδή έχω προβληματιστεί εξίσου γιατί να ισχύει $|\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a}+|\vec{lb}|$ προσπάθησα να το διερευνήσω . Οπότε

Αν $|\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a+lb}|\Leftrightarrow ||\vec{a}|-|\vec{b}||\leq |\vec{a}|+|\vec{lb}|\Leftrightarrow \\$
$-|\vec{a}|-|\vec{lb}|\leq |\vec{a}|-|\vec{b}|\leq |\vec{a}|+|\vec{lb}|\Leftrightarrow |\vec{b}|(1-|l|)\leq 2|\vec{a}|$
Για να ισχύει για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα , θα πρέπει $1-|l|\leq 0 \Leftrightarrow |l|\geq 1$

An υποθέσουμε ότι $|\vec{a}+\vec{b}|\geq |\vec{a}+\vec{lb}|\Leftrightarrow |\vec{a}|+|\vec{b}|\geq ||\vec{a}|-|\vec{lb}||\Leftrightarrow \\ -|\vec{a}|-|\vec{b}|\leq |\vec{a}|-|\vec{lb}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|\Leftrightarrow (|l|-1)|\vec{b}\leq 2|\vec{a}|$

που για να ισχύει για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα , θα πρέπει $|l|-1\leq 0 \Leftrightarrow |l|\leq 1$

Ίσως γι αυτή η άσκηση να αναφέρει υπάρχει κάποιος l πραγματικός

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 14, 2018 9:49 pm**

Aγαπητέ Ratio. Όπως είπαμε και κατ' ιδίαν, εκτιμώ την προσπάθειά σου να ερευνήσεις το ζήτημα που έθεσες.

Η μετάβαση από την ανισότητα $|\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a}+|\vec{lb}|$ στην ανισότητα $||\vec{a}|-|\vec{b}||\leq |\vec{a}|+|\vec{lb}| \\$ δεν είναι ισοδύναμη διαδικασία.

Δίνω ένα ακόμα αντιπαράδειγμα που καταρρίπτει τον ισχυρισμό:

Αν $|\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a+lb}|\Leftrightarrow ||\vec{a}|-|\vec{b}||\leq |\vec{a}|+|\vec{lb}|\Leftrightarrow \\$
$-|\vec{a}|-|\vec{lb}|\leq |\vec{a}|-|\vec{b}|\leq |\vec{a}|+|\vec{lb}|\Leftrightarrow |\vec{b}|(1-|l|)\leq 2|\vec{a}|$
Για να ισχύει για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα , θα πρέπει $1-|l|\leq 0 \Leftrightarrow |l|\geq 1$

ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:

Έστω $\displaystyle \vec a = \left( { - 3, - 1} \right),\;\;\;\vec b = \left( {1,\frac{1}{2}} \right)$ τότε $\displaystyle \vec a + \vec b = \left( { - 2, - \frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left| {\vec a + \vec b} \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ .

Έστω $\displaystyle \lambda = 2$ , οπότε $\displaystyle \vec a + \lambda \vec b = \left( { - 1,0} \right) \Rightarrow \left| {\vec a + \lambda \vec b} \right| = 1$ .

Η πρόταση $\displaystyle \left| {\vec a + \lambda \vec b} \right| \ge \left| {\vec a + \vec b} \right| \Leftrightarrow \left| \lambda \right| \ge 1$ δεν ισχύει.

Αυτό γίνεται εμφανές αν τετραγωνίσεις ισοδύναμα την ανισότητα $|\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a}+|\vec{lb}|$ . Θα δεις ότι η συνθήκη $|\lambda| \ge 1$ δεν είναι ικανή για να την επαληθεύει για οποιαδήποτε μη μηδενικά $\vec a, \vec b$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 14, 2018 10:40 pm**

Η άσκηση προσφερόταν για πειραματισμούς εφόσον έπρεπε να μην γίνει χρήση εσωτερικού γινομένου και νομίζω ότι με τους πειραματισμούς όλοι κάτι εισπράττουμε στο τέλος .Αλίμονο, αν δεν υπήρχαν αντιρρήσεις, ερωτήσεις και αντιπαραδείγματα.

mathematica.gr

Άσκηση σχολικού

Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού

Re: Άσκηση σχολικού