mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 4:10 pm**

Αν

και

για κάθε $x\in R$ και limf(x)=limg(x)= 0

Να υπολογίσετε το : $lim\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$
Έγραψα ως Χ την f( x) και y την g(x) , για x τείνει σε ένα χο και τα δύο όρια .Έχω προσπαθήσει αρκετά και το φτάνω μέχρι ένα σημείο και μετά δεν μπορώ να το συνεχίσω καμία βοήθεια ?

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 4:19 pm**

Ωραία όλα αυτά αλλά το

που τείνει ; Υποθέτω στο $+\infty$ ;

Nikos002 έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 4:10 pm Αν και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και $\lim f(x)= \lim g(x)= 0$

Να υπολογίσετε το : $\lim \dfrac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 4:29 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 4:19 pm Ωραία όλα αυτά αλλά το που τείνει ; Υποθέτω στο $+\infty$ ;

Nikos002 έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 4:10 pm Αν και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και $\lim f(x)= \lim g(x)= 0$

Να υπολογίσετε το : $\lim \dfrac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}$

Δεν παίζει ρόλο που τείνει το

.

Οπου και να τείνει η απόδειξη είναι ίδια(την αφήνω στους νεότερους).

Βέβαια πρέπει να το βάλουμε να τείνει κάπου.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 5:07 pm**

Είναι $\left| {\frac{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}} \right| \le \left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|$ και με Κ.Π. προκύπτει $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}} = 0$ , όπου

πραγματικός ή άπειρο.

Οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}}} = + \infty$

(είναι $\frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} > 0$ )

Επεξεργασία: Προφανώς το κλάσμα στο όριο στον τελευταίο παρονομαστή είναι αντίστροφα.
Επεξεργασία: Κοντά στο ${x_0}$ είναι $0 < {f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right) < 1$ , οπότε η σχέση $\left| {\frac{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}} \right| < \left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|$ είναι λανθασμένη, όπως επισημαίνει ο Λάμπρος στο παρακάτω σχόλιο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 6:39 pm**

Nikos002 έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 4:10 pm Αν και για κάθε $x\in R$ και

Να υπολογίσετε το : $lim\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$
Έγραψα ως Χ την f( x) και y την g(x) , για x τείνει σε ένα χο και τα δύο όρια .Έχω προσπαθήσει αρκετά και το φτάνω μέχρι ένα σημείο και μετά δεν μπορώ να το συνεχίσω καμία βοήθεια ?

$\displaystyle{ \frac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}= \frac{f^2(x)}{f(x)+g(x)}+ \frac{g^2(x)}{f(x)+g(x)}\leq \frac{f^2(x)}{f(x)}+ \frac{g^2(x)}{g(x)}=f(x)+g(x)\rightarrow 0 }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 6:50 pm**

perpant έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 5:07 pm
Οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\frac{{{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}}} = + \infty$

Δεν είναι φυσιολογικό το αποτέλεσμα. Κοντά στο x_0

θα είναι $f^2(x)<f(x),g^2(x)<g(x)\Rightarrow f^2(x)+g^2(x)<f(x)+g(x)\Rightarrow \frac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}<1$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 9:55 pm**

Πώς γίνεται να βγαίνει άπειρο , είναι άσκηση από το σχολειο στην κατηγορία 0/0

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 21, 2018 10:59 pm**

Nikos002 έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 9:55 pm Πώς γίνεται να βγαίνει άπειρο , είναι άσκηση από το σχολειο στην κατηγορία 0/0

Νίκο,

Το όριο ίσον άπειρο που γράφει ο Περικλής (perpant) παραπάνω είναι λογιστικό σφάλμα. Προφανώς εκ παραδρομής το κλάσμα έχει γραφτεί
ανάποδα, αλλά η ουσία του συλλογισμού είναι σωστή.

Γράφω όμως για άλλο λόγο: Ας επισημάνω ότι στην κατηγορία 0/0

θα μπορούσε κάλλιστα το όριο να είναι συν άπειρο. Μπορείς να δώσεις εδώ ένα παράδειγμα; Σκέψου το. Αλλιώς θα σου δώσουμε εμείς ένα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 22, 2018 10:08 pm**

Τελικά το όριο ισούται με πόσο ? Μήπως μπορείτε να αναφέρεται ένα τέτοιο όριο το οποίο είναι 0/0 και βγάζει άπειρο ,ωστόσο το Χ τείνει σε αριθμό ή στο άπειρο ?

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 22, 2018 10:40 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 4:29 pm Δεν παίζει ρόλο που τείνει το .
Οπου και να τείνει η απόδειξη είναι ίδια(την αφήνω στους νεότερους).

Nikos002 έγραψε: Δευ Οκτ 22, 2018 10:08 pm Τελικά το όριο ισούται με πόσο ?

Αφού οι νεότεροι δεν ανταποκρίθηκαν (ίσως περίμεναν ακόμα νεότερους), δίνω μια απάντηση από το σημείο που την άφησε ο Λάμπρος.

Για $\displaystyle f\left( x \right) > 0\;\;\; \wedge \;\;\;g\left( x \right) > 0$ είναι

$\displaystyle \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} = \frac{{{f^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} + \frac{{{g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} < \frac{{{f^2}(x)}}{{f(x)}} + \frac{{{g^2}(x)}}{{g(x)}} = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ ,

οπότε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = 0$

Επίσης $\displaystyle \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} > 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} \ge 0$

Άρα $\displaystyle 0 \le \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} \le 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{f^2}(x) + {g^2}(x)}}{{f(x) + g(x)}} = 0$ .

Nikos002 έγραψε: Δευ Οκτ 22, 2018 10:08 pm
Μήπως μπορείτε να αναφέρετε ένα τέτοιο όριο το οποίο είναι 0/0 και βγάζει άπειρο ,ωστόσο το Χ τείνει σε αριθμό ή στο άπειρο ?

Νομίζω υπάρχουν άπειρα παραδείγματα, όπως π.χ. $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}}}{{{x^2}}} = + \infty$ , $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = + \infty$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 22, 2018 10:53 pm**

Ναι για Χ τείνει στο άπειρο γνωρίζω και εγώ απλός δεν είμαστε ακόμα εκεί στο σχολείο ούτε καν τα πεπερασμένα δεν έχουμε κάνει για αυτό παρεξενευτηκα που έβγαινε άπειρο στην πρτη περίπτωση .Θα μπορούσε να υπάρξει πιο αλγεβρική λύση δηλαδή χωρίς Κ.Π , εγώ το προσπάθησα συμπληρώνοντας τετράγωνο και εσπασα το κλάσμα και έφτανα σε καλό σημείο αλλά πάντα μου έμενε το άθροισμα στον παρονομαστη

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 22, 2018 11:53 pm**

Nikos002 έγραψε: Δευ Οκτ 22, 2018 10:08 pm Μήπως μπορείτε να αναφέρεται ένα τέτοιο όριο το οποίο είναι 0/0 και βγάζει άπειρο ,ωστόσο το Χ τείνει σε αριθμό ή στο άπειρο ?

Αυτά που είχα κατά νου είναι

α) Για

τείνει σε αριθμό, το $\displaystyle{\lim _{x\to 0}\dfrac {x^2}{x^4}}$

β) Για

τείνει στο άπειρο, το $\displaystyle{\lim _{x\to +\infty }\dfrac {\dfrac {1}{x}}{\dfrac {1}{x^2}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2018 1:00 pm**

Μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε πως προέκυψε η πρώτη ανισότητα διότι δεν είμαι εντελώς σίγουρος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2018 2:15 pm**

Nikos002 έγραψε: Τρί Οκτ 23, 2018 1:00 pm Μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε πως προέκυψε η πρώτη ανισότητα διότι δεν είμαι εντελώς σίγουρος

Σε ποιον απευθύνεσαι; Γράψε μας τον αύξοντα αριθμό του ποστ. Θα τον βρεις στην αρχή της δεύτερης γραμμής, αμέσως
από κάτω από τον τίτλο, στο εν λόγω ποστ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2018 3:47 pm**

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 12#p303612
Δεν είμαι εντελώς σίγουρος το πώς προκύπτει η 1η ανισότητα

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2018 3:50 pm**

Αναφερομαι στην απάντηση του κυριου Γιώργου Ρίζου και συγκεκριμένα την πρώτη ανισότητα εκεί που σπάει τα κλάσματα δεν είμαι σίγουρος για το πώς προκύπτει η εν λόγω ανισότητα

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2018 5:54 pm**

Τη μέθοδο περιέγραψε ο Λάμπρος λίγο παραπάνω.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Κυρ Οκτ 21, 2018 6:39 pm
$\displaystyle{ \frac{f^2(x)+g^2(x)}{f(x)+g(x)}= \frac{f^2(x)}{f(x)+g(x)}+ \frac{g^2(x)}{f(x)+g(x)}\leq \frac{f^2(x)}{f(x)}+ \frac{g^2(x)}{g(x)}=f(x)+g(x)\rightarrow 0 }$

Μικραίνει ο παρονομαστής, αφού αφαιρούμε θετική ποσότητα, μένει ίδιος ο αριθμητής, άρα μεγαλώνει το κλάσμα.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2018 10:32 pm**

Σας ευχαριστώ πολύ

mathematica.gr

Οριο

Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο