mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:20 pm**

Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

$\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 26, 2018 1:06 am**

matha έγραψε: Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:20 pm Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

$\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}$

Από τον τύπο του Legendre (υπάρχει σε Θεωρίες Αριθμών και η απόδειξη είναι προσιτή) η μεγαλύτερη δύναμη του (πρώτου) αριθμού

που διαιρεί τον 1000!

είναι

$\displaystyle{\left \lfloor \frac {1000}{7} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {1000}{7^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {1000}{7^3} \right \rfloor +...}$ ,
εδώ 142+20+2+0=164

. Όμοια για τον 500!

είναι $\displaystyle{\left \lfloor \frac {500}{7} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {500}{7^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {500}{7^3} \right \rfloor +...=71+10+1+0=82}$ . Με άλλα λόγια $\displaystyle{1000!= 7^{164}N, \, 500!= 7^{82}M}$ όπου οι ακέραιοι $N, \, M$ δεν έχουν

στην ανάλυσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Έτσι ο ακέραιος $\displaystyle{\binom{1000}{500}=\frac {1000!}{500!500!} = \frac {7^{164}N}{(7^{82}M)^2}= \frac {N}{M^2}}$ δεν έχει

γιατί αλλιώς θα είχε

ο $\displaystyle{M^2 \binom{1000}{500}=N}$