mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 28, 2018 11:05 pm**

: 1.png (9 KiB) Προβλήθηκε 2030 φορές

$\bigstar$ Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος x=CE

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 30, 2018 10:43 am**

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Παρ Δεκ 28, 2018 11:05 pm 1.png

$\bigstar$ Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Τμήμα 13.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 1984 φορές

$\displaystyle A{B^2} = AD \cdot AE \Leftrightarrow 144 = 9(12 + x) \Leftrightarrow$ $\boxed{x=4}$

Η διχοτόμος δεν ξέρω τι ρόλο παίζει. Αφού το είναι ισοσκελές, προκύπτει αναγκαστικά και δεν χρειάζεται να δοθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 30, 2018 1:44 pm**

: Μήκος τμήματος_13_Φάνης.png (15.35 KiB) Προβλήθηκε 1961 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές ( AB = AC = 12

) . Προεκτείνω τη

. κατά τμήμα AZ = 12

.

Στο τρίγωνο BCZ

η διάμεσος

είναι ίση με το μισό της

, άρα είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την

.

Τώρα στο τρίγωνο BDE

η

είναι διχοτόμος εσωτερική και η

εξωτερική αφού $ZB \bot BC$ και έτσι η τετράδα : $(D,E\backslash Z,C)$ είναι αρμονική .

Από την αρμονική αναλογία:

$\dfrac{{CD}}{{CE}} = \dfrac{{ZD}}{{ZE}} \Rightarrow \dfrac{3}{x} = \dfrac{{21}}{{24 + x}} \Rightarrow \dfrac{3}{x} = \dfrac{{21 - 3}}{{24 + x - x}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \boxed{x = 4}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 30, 2018 7:06 pm**

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Παρ Δεκ 28, 2018 11:05 pm 1.png

$\bigstar$ Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Εστω ότι $I\Delta //BC$

Τότε $AC=AB=12,\hat{I\Delta B}=\hat{\Delta BC}=\theta ,\hat{A\Delta B}=\varphi +2\theta ,$

Τα τρίγωνα $IB\Delta ,BCE$ είναι όμοια άρα $\dfrac{IB}{x}=\dfrac{I\Delta }{BC}=\dfrac{3}{4},(*), \dfrac{I\Delta }{BC}=\dfrac{3}{12},(**), (*),(**)\Rightarrow x=\dfrac{4IB}{3}=4$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 30, 2018 7:39 pm**

Εφαρμόζουμε νόμο των ημιτόνων στο ABD

$\frac{sin\widehat{\varphi }}{9}=\frac{sin\widehat({\varphi +2\theta })}{12}=\frac{sin(2\varphi +2\theta )}{BD}$

Εφαρμόζουμε νόμο των ημιτόνων στο DBE

$\frac{sin\varphi }{12+x}=\frac{sin(\varphi +2\theta )}{12}=\frac{sin(2\varphi +2\theta )}{BE}$

Eφαρμόζουμε θ. διαμέσων στο DBE

$\frac{x}{BE}=\frac{3}{BD}$

Αντικαθιστούμε στην τελευταία σχέση το $BD=\frac{9sin(2\varphi +2\theta)}{sin\varphi }$
και $BE=\frac{(12+x)sin(2\varphi +2\theta)}{sin\varphi}$
και καταλήγουμε $\frac{3}{x}=\frac{9}{12}\Leftrightarrow x=4$