mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 22, 2019 10:41 pm**

: GEOMETRIA220-FB2707.jpg (35.3 KiB) Προβλήθηκε 933 φορές

Εστω

τυχαίο σημείο της βάσης

τριγώνου

.

Επι των πλευρών AB, AC

"παίρνουμε" σημεία Q, P

αντίστοιχα, ώστε BQ=DC

και

.

Αν

είναι τα μέσα των τμημάτων BD, QC, DC, BP

αντίστοιχα,

δείξτε ότι τα MN, KL

συντρέχουν στο μέσον

του

, όπου

το έκκεντρο του ABC

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 23, 2019 2:38 pm**

Μιας και δεν απαντήθηκε:

Θα αποδείξουμε πως η

διέρχεται από το μέσο του

, το

. Όμοια θα διέρχεται από το

και η

.

Παρατηρούμε πως MT//BI

.

Θα δείξουμε MN//BI

.

Έστω πως η

τέμνει την

στο

.

Από το Θεώρημα Μενελάου στο BCQ

συμπεραίνουμε ότι:

$\dfrac{CN}{NQ}\cdot\dfrac{BM}{MC}\cdot\dfrac{JQ}{JB}=1\Leftrightarrow \dfrac{BM}{JB}=\dfrac{MC}{JQ}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \dfrac{BM}{JB}=\dfrac{MD+DC}{JB+BQ}\Leftrightarrow \dfrac{BM}{JB}=\dfrac{BM+DC}{JB+DC}=\dfrac{BM+DC-BM}{JB+DC-JB}=1$ .

Άρα BM=JB

, άρα αφού το τρίγωνο JBM

είναι ισοσκελές προκύπτει ότι η

είναι παράλληλη με την εξωτερική διχοτόμο

. Με άλλα λόγια MN//BI

και το ζητούμενο έπεται.

mathematica.gr

Συντρέχεια στο μέσον

Συντρέχεια στο μέσον

Re: Συντρέχεια στο μέσον