mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 24, 2019 7:47 pm**

: Βρείτε τα υπόλοιπα.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Στο εγγεγραμμένο πεντάγωνο ABCDE

η

διχοτομεί τη γωνία $C\widehat DE$ και είναι AB=21, CD=39,

και

Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες πλευρές και διαγώνιες του πενταγώνου.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 24, 2019 10:39 pm**

Φέρνω τη χορδή

προφανώς λόγω διχοτόμου της $\widehat {EDC} = 2\widehat \theta$ θα είναι : AC = 35

.

Αφού τώρα το τρίγωνο ADC

έχει και τις τρεις πλευρές του γνωστές όλα απλοποιούνται . Ας υποθέσουμε : $a = 56\,\,,\,\,b = 39\,\,,\,\,c = 36$ .

Ας είναι ακόμα : $ED = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = y$ . Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ADC$ έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \cos \theta = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{11}}{{14}} \hfill \\ \cos \phi = \cos (180^\circ - \theta ) = - \frac{{11}}{{14}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Πάλι με το ίδιο θεώρημα στο $\vartriangle AED$ έχω: ${35^2} = {x^2} + {56^2} - 2 \cdot 56x \cdot \cos \theta \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 49 \hfill \\ x = 39 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αν x = 39

τότε το τετράπλευρο ACDE

θα ήταν χαρταετός και η

διάμετρος του κύκλου ,

οπότε $\widehat {ACD} = 90^\circ \Leftrightarrow {56^2} = {39^2} + {35^2} \Leftrightarrow 3136 = 2740$ , άτοπο

Συνεπώς $\boxed{x = ED = 49}$ με όποιο τρόπο από το $\vartriangle ABC$ έχω : $\boxed{BC = 16}$

: Βρείτε τα υπόλοιπα.png (36.75 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Τώρα για τις διαγώνιους , μπορώ να εργαστώ με Θ. Πτολεμαίου αλλά η λύση θα εκπέσει του φακέλου .

Στο $\vartriangle AED$ με Θ. συνημίτονου έχω : ${49^2} = {56^2} + {35^2} - 2 \cdot 56 \cdot 35\cos \omega \Rightarrow \boxed{\cos \omega = \frac{1}{2}}$

Έτσι $\widehat {EAD} = \widehat {ECD} = 60^\circ$ και από το $\vartriangle CED$ :

${56^2} = {39^2} + E{C^2} - 2 \cdot 39EC \cdot \cos \omega \Rightarrow \boxed{EC = 55}$ . Τέλος για να μη «βαρύνω» το σχήμα .

$\boxed{\cos \xi = \frac{{{{16}^2} + {{35}^2} - {{21}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 35}} = \frac{{13}}{{14}}}$ και αφού $\boxed{\cos \theta = \frac{{11}}{{14}}}$ έχω

$\left\{ \begin{gathered} \sin \theta = \frac{{5\sqrt 3 }}{{14}} \hfill \\ \sin \xi = \frac{{3\sqrt 3 }}{{14}} \hfill \\ \cos (\theta + \xi ) = \cos \theta \cos \xi - \sin \theta \sin \xi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\cos (\theta + \xi ) = \frac{1}{2}}$

Το τρίγωνο BED

θα έχει $\widehat {BDE} = \widehat {BCE} = 60^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {EBC} = \widehat \omega = 60^\circ$ άρα είναι ισόπλευρο και θα έχει $\boxed{BE = BD = ED = 49}$

mathematica.gr

Βρείτε τα υπόλοιπα

Βρείτε τα υπόλοιπα

Re: Βρείτε τα υπόλοιπα