mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2019 5:11 pm**

Να βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων (x,y)

που επαληθεύουν την εξισωση $y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2019 11:40 pm**

Xriiiiistos έγραψε: Κυρ Φεβ 03, 2019 5:11 pm Να βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων που επαληθεύουν την εξισωση $y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

Πρόκειται για πρόβλημα της IMO 1983 Longlist το οποίο προτάθηκε από το Βέλγιο.

Παρατηρούμε ότι

$y^2 - \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right)^2= \frac{3}{4} x^2 + x + 1>0$

για κάθε

, ενώ

$y^2 - \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right+1)^2=-\frac{5}{4}x^2<0$ ,

για κάθε x>0

, και άρα

$x^2 + \frac{1}{2} x<y<x^2 + \frac{1}{2} x+1$ .

Από την τελευταία, είναι φανερό ότι ο

είναι περιττός (αλλιώς ο ακέραιος

θα ήταν ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ακέραιους).

Έτσι, $y\geq x^2 + \frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$ , οπότε

$0\leq y^2-(x^2 + \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} )^2=-\frac{3}{4}(x+1)(x-3).$

Συνεπώς, x=1