mathematica.gr

Κατά γενικό κανόνα, όταν κάνουμε την ταξινόμηση των ισομετριών του υπερβολικού επιπέδου αναφερόμαστε σε αυτές ως υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές. Δεν μπορώ όμως να βρω κανένα συγγραφέα που να εξηγεί την ιστορία ή ακόμα και τη λογική αυτών των ονομασιών. Είχα έως τώρα μία μερική ιδέα, ότι δηλαδή οι υπερβολικές ισομετρίες προέρχονται από υπερβολικούς πίνακες, ότι οι ελλειπτικές ισομετρίες σχηματίζουν έναν κύκλο ως πολλαπλότητα, αλλά ποια είναι η σχέση των παραβολικών ισομετριών με την παραβολή;

Η απάντηση μου δόθηκε από τον Pierre Dehornoy και τον Serge Cantat που είχα την τύχη να γνωρίσω φέτος. Αν τοποθετηθούμε στο μοντέλο του υπερβολοειδούς και εξετάσουμε την τροχιά ενός σημείου υπό τη δράση της ομάδας με μία παράμετρο. Τότε η τροχιά του σημείου όταν ο αντιστοιχεί σε υπερβολική (ελλειπτική, παραβολική) ισομετρία είναι αντιστοίχως μία υπερβολή (έλλειψη, παραβολή). Το αφήνω για άσκηση. Ας γίνει με όσο το δυνατόν λιγότερους υπολογισμούς.

Προτείνω ένα σχέδιο λύσης:
1) Οι αντίστοιχες τροχιές στο μοντέλο του δίσκου μας είναι γνωστές. Να κατασκευαστεί ο διαφορομορφισμός μεταξύ των δύο μοντέλων. Επιπλέον, αν είναι το κέντρο του δίσκου, να δειχθεί ότι οι κύκλοι με κέντρο το στέλνονται σε ελλείψεις, οι ορόκυκλοι που περνούν από το στέλνονται σε παραβολές και οι γεωδαισιακές που περνούν από το σε υπερβολές
2) Να δειχθεί ότι η ομάδα ισομετριών του υπερβολοειδούς δρα μεταβατικά επί όλων των παραβολών (αντίστοιχα υπερβολών) που ανήκουν στο υπερβολοειδές
3) Να δειχθεί το ζητούμενο

Εφόσον δειχθεί το 2, το ένα δε χρειάζεται να το δείξουμε για κάθε γεωδαισιακή (αντ. ορόκυκλο), αρκεί να το δείξουμε για μία.