Σελίδα 1 από 1
καθετότητα διχοτόμων
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 04, 2010 9:22 pm
από p_gianno
Αν ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές τέμνονται στα σημεία Ε και Z να δειχθεί ότι οι διχοτόμοι των γωνιών Ε και Ζ τέμνονται καθέτως.
Α λυκείου μεχρι 7/4/10
Re: καθετότητα διχοτόμων
Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 05, 2010 3:15 pm
από ξαροπ
Για το τρίγωνο ΕΒΓ έχουμε <ΓΕΒ + < ΕΓΒ = 180 - < ΕΒΓ και για το τρίγωνο ΓΔΖ ομοίως < ΔΖΓ + < ΖΓΔ = 180 - < ΖΔΓ = < ΕΒΓ (αφού το ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο).
Με πρόσθεση των σχέσεων κατά μέλη βρίσκουμε < ΓΕΒ + < ΔΖΓ + 2ω = 180 (όπου ω = < ΕΓΒ = < ΖΓΔ), δηλαδή 2(x+y+ω) = 180 <=> x+y+ω = 90. (1)
Αφού ΑΒΓΔ εγγράψιμο έχουμε < ΔΑΒ = 180 - ω, άρα < ΕΑΔ = < ΖΑΒ = ω. Έστω Κ το σημείο τομής της ΕΙ με τη ΔΑ και Λ το σημείο τομής της ΑΒ με την ΙΖ, τότε < ΑΚΙ = x+ω (ως εξωτερική της < ΕΚΑ) και ομοίως < ΑΛΙ = y + ω. Τότε αφού στο τετράπλευρό ΙΛΑΚ ισχύει <Ι + <Λ + <Α + <Κ = 360 έχουμε <Ι = 360 - < ΙΛΑ - < ΛΑΚ - < ΑΚΙ = 360 - (y+ω + 180 - ω + x + ω) = 180 - (x+y+ω) = (1) = 90.
Άρα < ΕΙΖ = 90. (ελπίζω χωρίς λατεξ να μην είναι πολύ δυσανάγνωστο)