mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 22, 2019 9:16 pm**

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y

και έστω $a=1+\frac{x}{y}$ και $b = 1+\frac{y}{x}$ . Αν a^2+b^2=15

να υπολογιστεί το a^3+b^3

.

Διορθώθηκε η εκφώνηση. Απολογούμαι όσους ταλαιπώρησα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 24, 2019 7:02 pm**

Καλησπέρα.

Έχουμε ότι $a+b=\frac{x+y}{y}+\frac{x+y}{x}=\frac{(x+y)^2}{xy}$ και $ab=\frac{(x+y)^2}{xy}$

Συνεπώς a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab)^2-2ab=ab(ab-2)

Άρα

απορρίπτεται, άρα ab=5

Οπότε

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(ab)^3-3(ab)^2=(ab)^2(ab-3)=25*2=50

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 24, 2019 7:42 pm**

Καλησπέρα! Κύριε Δημήτρη, η άσκηση αυτή δεν είναι από τον ατομικό διαγωνισμό Harvard; Πρόσφατα διεξήχθη και την συνάντησα ως δεύτερο θέμα του διαγωνίσματος

mathematica.gr

Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Re: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Re: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων