mathematica.gr

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Μαρ 04, 2019 8:01 pm Δίνεται τρίγωνο για το οποίο υπάρχουν σημεία και των πλευρών και αντίστοιχα, ώστε . Έστω το σημείο τομής των τμημάτων και και το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και . Να αποδείξετε, ότι το σημείο , τα μέσα των τμημάτων και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , είναι ομοκυκλικά.

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Τρί Μαρ 05, 2019 10:27 pm Έστω και τα μέσα των και αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά ( είναι το έγκεντρο).

Αφού , ισχύει ότι .

Άρα υπάρχει σημείο στην , ώστε και .

Από τα ισοσκελή τρίγωνα και , έχουμε πως οι διχοτόμοι και είναι και μεσοκάθετοι των και αντίστοιχα.

Άρα το είναι το περίκεντρο του τριγώνου , δηλαδή ανήκει και στην μεσοκάθετο του .

Αφού το ανήκει και στην διχοτόμο της , ανήκει και στον περιγεγραμμένο κύκλο του (θεώρημα νότιου πόλου).

Θα δείξουμε τώρα ότι τα είναι ομοκυκλικά.

Παρατηρούμε ότι το αποτελεί το σημείο του πλήρους τετραπλεύρου , άρα από αυτό διέρχονται οι κύκλοι και .

Έχουμε λοιπόν ότι και .

Συνεπώς τα τρίγωνα και είναι όμοια, οπότε τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις διαμέσους τους είναι επίσης όμοια.

Με άλλα λόγια τα τρίγωνα και είναι όμοια, δηλαδή , οπότε πράγματι το είναι εγγράψιμο.

Επομένως τα είναι συνευθειακά.