mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 19, 2019 2:16 pm**

Την άσκηση την βρήκα στο διαδίκτυο. Αυτό που μου κάνει εντύπωση είναι το δεύτερο ερώτημα. Η λύση που βρήκα μπλέκει με επίπονες περιπτώσεις που θεωρώ πως δεν προσφέρουν τίποτα στον μαθητή. Υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος που δεν βλέπω που να παρακάμπτει την περιπτωσιολογία;

Έστω ο πραγματικός αριθμός $\lambda$ και η εξίσωση:
$\displaystyle{x^{2}+2\left | \lambda \right |x+\frac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0, \hspace{3mm}\left ( \bigstar \right )}$
(α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\left ( \bigstar \right )$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες $x_{1},x_{2}$ για κάθε:

$\displaystyle{\lambda \in \left ( -\infty ,-\frac{3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )}$
(β) Να εξετάσετε αν για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \left ( -\infty ,-\frac{3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )}$ ισχύει:

$\displaystyle{\mathrm{d}\left ( x_{1},1 \right )\mathrm{d}\left ( 1,x_{2} \right )>\frac{49}{16}}$

όπου $x_{1},x_{2}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\left ( \bigstar \right )$ .

Φιλικά,
Μάριος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 19, 2019 4:24 pm**

Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 19, 2019 4:48 pm**

Μετά συγχωρήσεως , τι ακριβώς θέλει να εξετάσει η άσκηση; Αν είναι να εξετάσει τα νεύρα του μαθητή , τα καταφέρνει μια χαρά.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 19, 2019 5:43 pm**

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 4:24 pm Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$

Στο δεύτερο ερώτημα δεν χρειάζονται όλες οι περιπτώσεις.
Αν θέσουμε

$f( \lambda)=32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |$
αρκεί

$f(1)\geq 33,f(-\frac{3}{4})\geq 33,f(-3)> 33$

(γιατί ; )

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 19, 2019 8:51 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 5:43 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 4:24 pm Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$
Στο δεύτερο ερώτημα δεν χρειάζονται όλες οι περιπτώσεις.
Αν θέσουμε

$f( \lambda)=32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |$
αρκεί

$f(1)\geq 33,f(-\frac{3}{4})\geq 33,f(-3)> 33$

(γιατί ; )

Η $f\left ( \lambda \right )$ είναι γνησιώς αύξουσα στο $\left [ 1,\infty \right )$ άρα αρκεί $f(1)\geq33$ για $\lambda$ θετικό.
Είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,-3 \right )$ άρα αρκεί $f(-3)\geq33$ για $\lambda<3$
Είναι γνησίως φθίνουσα στο $[ -3,-\dfrac{3}{4} )$ άρα αρκεί $f\left ( -3/4 \right )>33$
για τα $3\leq \lambda <-\dfrac{3}{4}$
Σωστά;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 19, 2019 9:35 pm**

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 8:51 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 5:43 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 4:24 pm Καλησπέρα!

α)

Έστω $\Delta$ η διακρίνουσα της $x^2+2x\left | \lambda \right |+\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}=0$

Αρκεί $\Delta >0\Leftrightarrow 4\left | \lambda \right |^2-\left | \lambda +3 \right |>0\Leftrightarrow \left | \lambda +3 \right |< 4\lambda ^2\Leftrightarrow -4\lambda ^2< \lambda +3< 4\lambda ^2$

$\lambda +3< 4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2-\lambda -3>0$
Έστω $\Delta '$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $4\lambda ^2-\lambda -3$ .

Είναι $\Delta '=1+4\cdot 3\cdot 4=49> 0$ ,έστω $\lambda_{1,2}$ οι ρίζες του τριωνύμου με

$\lambda_1<\lambda_2$
$\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{49}}{8}$ άρα αρκεί $\lambda \in \left ( -\infty,\lambda _1 \right )\cup \left ( \lambda _2,+\infty \right )\Leftrightarrow \lambda \in \left ( -\infty,\dfrac{-3}{4} \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )$
που ισχύει.

$\lambda +3> -4\lambda ^2\Leftrightarrow 4\lambda ^2+\lambda +3>0$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$

β)

$d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow \left | x_1x_2-(x_1+x_2)+1 \right |\Leftrightarrow \left | 2\left | \lambda \right | +\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1\right | >\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 2\left | \lambda \right |+...\dfrac{\left | \lambda +3 \right |}{4}+1> \dfrac{49}{16}\Leftrightarrow 32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |> 33$

Και παίρνουμε περιπτώσεις

$\lambda \in \left ( -\infty,-3 \right )$ η σχέση γίνεται $4\left ( 3-\lambda \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda <-\dfrac{21}{36}=-\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

$\lambda \in [-3,-\dfrac{3}{4})$ η σχέση γίνεται
$4\left ( \lambda +3 \right )-32\lambda >33\Leftrightarrow -28\lambda >21\Leftrightarrow \lambda < \dfrac{-3}{4}$
που ισχύει .

$\lambda \in \left ( 1,+\infty \right )$ η σχέση γίνεται $36\lambda >21\Leftrightarrow \lambda >\dfrac{7}{12}$
που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση $d(x_1,1)d(x_2,1)>\dfrac{49}{16}$
Στο δεύτερο ερώτημα δεν χρειάζονται όλες οι περιπτώσεις.
Αν θέσουμε

$f( \lambda)=32\left | \lambda \right |+4\left | \lambda +3 \right |$
αρκεί

$f(1)\geq 33,f(-\frac{3}{4})\geq 33,f(-3)> 33$

(γιατί ; )
Η $f\left ( \lambda \right )$ είναι γνησιώς αύξουσα στο $\left [ 1,\infty \right )$ άρα αρκεί $f(1)\geq33$ για $\lambda$ θετικό.
Είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,-3 \right )$ άρα αρκεί $f(-3)\geq33$ για $\lambda<3$
Είναι γνησίως φθίνουσα στο $[ -3,-\dfrac{3}{4} )$ άρα αρκεί $f\left ( -3/4 \right )>33$
για τα $3\leq \lambda <-\dfrac{3}{4}$
Σωστά;

Πρόδρομε σωστά είναι αυτά που γράφεις.
Αλλά εγώ το βλέπω ως εξής.(θα το γράψω αναλυτικά να γίνει κατανοητό)
Αν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}c_{i}|x-a_{i}|,a_{1}< a_{2}< ...< a_{n}$

η γραφική της παράσταση στα διαστήματα

$(-\infty ,a_{1}],[a_{1},a_{2}],...[a_{n-1},a_{n}],[a_{n},\infty )$

είναι μέρος ευθείας.

Εδώ $c_{i}=1$ . Τα διαστήματα είναι $(-\infty ,-3],[-3,0],[0,\infty )$ .
Στο πρώτο είναι γνησίως φθίνουσα,στο τελευταίο γνησίως αύξουσα,ενώ στο μεσαίο ότι και να είναι οι
ανισότητες που έγραψα μου δίνουν αυτό που θέλουμε.

mathematica.gr

Από το διαδίκτυο...

Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...

Re: Από το διαδίκτυο...