mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2019 10:30 am**

Στην Γ' Λυκείου θα αποδειχθεί ότι , για κάθε $x \neq 0$ , είναι : e^x>x+1

.

Εδώ αν σας χρειασθεί , θεωρήστε το , γνωστό .

Α) Λύστε την ανίσωση : $\dfrac{x^2}{x+6}<x+3$

Β) Θεωρούμε την συνάρτηση : $f(x)=\ell n(\dfrac{x^2}{x+6})$

ι) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και τις ρίζες της .

ιι) Λύστε την ανίσωση : $f(x)<\ell n3$

ιιι) Δείξτε ότι η $C_{f}$ και η ευθεία y=x+2

, έχουν μόνο ένα κοινό σημείο .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2019 12:47 pm**

KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 10:30 am Στην Γ' Λυκείου θα αποδειχθεί ότι , για κάθε $x \neq 0$ , είναι : .

Εδώ αν σας χρειασθεί , θεωρήστε το , γνωστό .

Α) Λύστε την ανίσωση : $\dfrac{x^2}{x+6}<x+3$

Β) Θεωρούμε την συνάρτηση : $f(x)=\ell n(\dfrac{x^2}{x+6})$

ι) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και τις ρίζες της .

ιι) Λύστε την ανίσωση : $f(x)<\ell n3$

ιιι) Δείξτε ότι η $C_{f}$ και η ευθεία , έχουν μόνο ένα κοινό σημείο .

A) $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} - x - 3 < 0 \Leftrightarrow - \frac{{9(x + 2)}}{{x + 6}} < 0 \Leftrightarrow 9(x + 2)(x + 6) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty , - 6) \cup ( - 2, + \infty )$

B) i) $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} > 0 \Leftrightarrow x > - 6,x \ne 0,$ άρα το πεδίο ορισμού είναι $\boxed{A = ( - 6,0) \cup (0, + \infty )}$

Οι ρίζες είναι οι τιμές του $x\in A$ για τις οποίες $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$ ή $\boxed{x=-2}$

ii) $\displaystyle \ln \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} < \ln 3 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} < 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 < 0,x \in A \Rightarrow x \in ( - 3,0) \cup (0,6)$

iii) Η C_f

και η ευθεία y=x+2

έχουν κοινό το σημείο (-2,0)

. Θα δείξω ότι δεν έχουν άλλο κοινό σημείο.

Για $x\ne -2,$ $\displaystyle x + 2 = \ln \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} = {e^{x + 2}} > x + 3$ (από την αρχική υπόδειξη) και από το

(A) ερώτημα, $\displaystyle x \in ( - 6, - 2).$ Δεν μπορεί λοιπόν να υπάρχει λύση για x>-2.

Αν πάλι

τότε

και θα πρέπει $\displaystyle \ln \frac{{{x^2}}}{{x + 6}} < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 2,0) \cup (0,3)$ που καταλήγει σε άτοπο.

mathematica.gr

Όμορφη ... αλλά Β'

Όμορφη ... αλλά Β'

Re: Όμορφη ... αλλά Β'