mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 13, 2019 5:28 pm**

Σας προτείνω το θέμα 84 από το αρχείο του Θάνου.

Αν $x,y>0,x\neq y,$ αποδείξτε ότι

$\displaystyle \frac{x+y}{2}\geq \frac{x-y}{lnx-lny}\geq \sqrt{xy}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 13, 2019 6:16 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Σάβ Απρ 13, 2019 5:28 pm Σας προτείνω το θέμα 84 από το αρχείο του Θάνου.

Αν $x,y>0,x\neq y,$ αποδείξτε ότι

$\displaystyle \frac{x+y}{2}\geq \frac{x-y}{lnx-lny}\geq \sqrt{xy}$

Υπάρχουν τουλάχιστον 7 διαφορετικές αποδείξεις της παραπάνω διπλής ανισότητας κάποιες με CBS , άλλες με απλές ανισότητες. Ξεχωρίζω όμως τη παρακάτω.

Από την ανισότητα Hermite - Hadamard για την $f(x)=e^x \; , \; x \in \mathbb{R}$ η οποία είναι κυρτή έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} f\left ( \frac{\alpha+\beta}{2} \right ) \leq \frac{1}{\beta-\alpha} \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \; \mathrm{d}x \leq \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} &\Rightarrow \exp \left ( \frac{\alpha+\beta}{2} \right ) \leq \frac{1}{\beta-\alpha} \int_{\alpha}^{\beta} e^x \; \mathrm{d}x \leq \frac{e^\alpha+e^\beta}{2} \\ &\Rightarrow \exp \left ( \frac{\alpha+\beta}{2} \right ) \leq \frac{e^{\beta}-e^{\alpha}}{\beta-\alpha} \leq \frac{e^{\alpha}+e^{\beta}}{2}\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\alpha=\ln x \;, \; \beta=\ln y}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!\Rightarrow }\exp \left ( \frac{\ln x + \ln y}{2} \right ) \leq \frac{e^{\ln y} - e^{\ln x}}{\ln y- \ln x} \leq \frac{e^{\ln x} + e^{\ln y}}{2} \\ &\Rightarrow \exp \left ( \frac{\ln xy}{2} \right )\leq \frac{y-x}{\ln y- \ln x} \leq \frac{x+y}{2} \\ &\Rightarrow \exp \left ( \ln \sqrt{xy} \right ) \leq \frac{x-y}{\ln x - \ln y} \leq \frac{x+y}{2}\\ &\Rightarrow \sqrt{xy} \leq \frac{x-y}{\ln x - \ln y} \leq \frac{x+y}{2} \end{aligned}}$
και το ζητούμενο δείχθηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 16, 2019 9:07 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Σάβ Απρ 13, 2019 5:28 pm Σας προτείνω το θέμα 84 από το αρχείο του Θάνου.

Αν $x,y>0,x\neq y,$ αποδείξτε ότι

$\displaystyle \frac{x+y}{2}\geq \frac{x-y}{lnx-lny}\geq \sqrt{xy}$

Η πρώτη ανισότητα προκύπτει από την ισχύ της ανίσωσης

$\displaystyle \dfrac{1}{t} > \dfrac{4}{\left (t+1 \right )^2} \quad ,$ για t > 1

και ολοκλήρωση αυτής στο διάστημα $\left [ 1, \dfrac{max(x,y)}{min(x,y)} \right ]$

Η δε δεύτερη, από την ισχύ της ανίσωσης

$\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{t}} + \dfrac{1}{2t\sqrt{t}} > \dfrac{1}{t} \quad ,$ για t>1

και ολοκλήρωση στο ίδιο διάστημα.

mathematica.gr

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 123

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 123

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 123

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 123