mathematica.gr • Είναι μετρική;

Σελίδα 1 από 1

Είναι μετρική;

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 15, 2019 10:21 pm

από Tolaso J Kos

Να εξεταστεί αν η $\rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |$ όπου

$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} \arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\ \arctan (x+1) & , & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{matrix}\right.}$
ορίζει στον $\mathbb{R}$ μετρική.

Να γίνει το ίδιο για την $\rho(x, y) = \left | \sin x-\sin y \right |$ .

Μέχρι 17/04/19.

Re: Είναι μετρική;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 20, 2019 8:41 am

από Tolaso J Kos

Επαναφορά για όλους.

Re: Είναι μετρική;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 20, 2019 6:04 pm

από Mihalis_Lambrou

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Απρ 15, 2019 10:21 pm Να εξεταστεί αν η $\rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |$ όπου

$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} \arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\ \arctan (x+1) & , & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{matrix}\right.}$
ορίζει στον $\mathbb{R}$ μετρική.

Να γίνει το ίδιο για την $\rho(x, y) = \left | \sin x-\sin y \right |$ .

Για να κλείνει.

α) Είναι $\rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |= \left | f(y)-f(x) \right |= \rho(y, x)$ και $\rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |\le \left | f(x)-f(z) \right |+ \left | f(z)-f(y) \right |= \rho(x, z) +\rho(z, y)$ και προφανώς $\rho(x, y) \ge 0$ . Έστω τώρα $\rho(x, y) = \left | f(x)-f(y) \right |=0$ . Δεν μπορεί ο ένας από τους x,y

x,y

να είναι ρητός και ο άλλος άρρητος γιατί τότε (χωρίς βλάβη) $\arctan x = \arctan (y+1)$ , δηλαδή x=y+1

x=y+1

. Που όμως δεν γίνεται γιατί ο ένας από τους x, y+1

x, y+1

είναι ρητός και ο άλλος (άρρητος

)= άρρητος. Άρα και οι δύο είναι ρητοί ή και οι δύο άρρητοι. Οπότε είτε x=y

x=y

ή

x+1=y+1

, αντίστοιχα. Και στις δύο περιπτώσεις, x=y

x=y

.

β) Δεν είναι μετρική καθώς $0\ne \pi$ αλλά $\rho(0, \pi) = \left | \sin 0-\sin \pi \right |=0$ .