mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 16, 2019 11:46 pm**

: GEOMETRIA222=FB2947.jpg (32.47 KiB) Προβλήθηκε 1435 φορές

Εστω παραλληλόγραμμο AECF

και σημεία B, D

επί των πλευρών του AE, AF

αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το τετράπλευρο ABCD

είναι εγγράψιμο, αν και μονο τότε αν, $AC^2=AE \cdot AB+ AF \cdot AD$

Η πρόταση είναι του φίλου Θανάση Γακόπουλου, χημικού μηχανικού και ερευνητή του "Πλαγιογώνιου Συστήματος"

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 17, 2019 2:59 am**

Γράφω τους κύκλους $(B,E,C)\,\,,\,\,(D,F,C)$ που τέμνουν την $AC\,\,$ στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ , Έστω δε $(\varepsilon )$ η εφαπτομένη του αρχικού κύκλου στο ${\rm A}$ .

$\left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat {ACB} = {\widehat \theta _1} \hfill \\ \widehat \omega = \widehat {DCA} = \widehat {{\omega _1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} TE//(\varepsilon ) \hfill \\ SF//(\varepsilon ) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow TE//SF$ , οπότε προφανώς :

: Κριτήριο για εγγράψιμο.png (42.69 KiB) Προβλήθηκε 1404 φορές

$\vartriangle TAE = \vartriangle SCF \Rightarrow \boxed{TA = SC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = TC}\,\,(1)$

$\left\{ \begin{gathered} AE \cdot AB = AT \cdot AC \hfill \\ AF \cdot AD = AS \cdot AC \hfill \\ \end{gathered} \right.$ προσθέτω και λόγω της (1)

έχω:

$AE \cdot AB + AF \cdot AD = AC(AT + AS) = AC(AT + TC) = A{C^2}$

Το αντίστροφο με άτοπο

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 17, 2019 10:30 pm**

Το ζητούμενο προκύπτει αρκετά εύκολα και με αντιστροφή με κέντρο

και ακτίνα

.

Για το γενικό αποτέλεσμα δείτε εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ogram_abcd

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 17, 2019 11:38 pm**

sakis1963 έγραψε: Τρί Απρ 16, 2019 11:46 pm GEOMETRIA222=FB2947.jpg
Εστω παραλληλόγραμμο και σημεία επί των πλευρών του αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, αν και μονο τότε αν, $AC^2=AE \cdot AB+ AF \cdot AD$

Η πρόταση είναι του φίλου Θανάση Γακόπουλου, χημικού μηχανικού και ερευνητή του "Πλαγιογώνιου Συστήματος"

: draw1.png (43.97 KiB) Προβλήθηκε 1319 φορές

..καλησπέρα..

προς την μία κατεύθυνση, δηλαδή αν έχουμε εγγράψιμο τετράπλευρο με τα πιο πάνω χαρακτηριστικά τότε θα δείξουμε την μετρική σχέση.

Με βάση τις γωνίες που έχουν σημειωθεί στο σχήμα έχουμε: $\chi +\rho =180^{\circ}.$

Από ν. ημιτόνου στο $\displaystyle\bigtriangleup CEB\Rightarrow BC=\frac{\eta \mu \widehat{\omega }}{\eta \mu \widehat{\rho }}CE\,\,\,(1))$

Από ν. ημιτόνου στο $\displaystyle\bigtriangleup FDC\Rightarrow DC=\frac{\eta \mu \widehat{\omega }}{\eta \mu \widehat{\rho }}CF\,\,\,(2))$ ,αφού επειδή $\displaystyle\widehat{\chi }+\widehat{\rho }=180^{\circ}\Rightarrow \eta \mu \widehat{\rho }=\eta \mu \widehat{\chi }$

Από θ. Πτολεμαίου στο $ABCD\Rightarrow DB\cdot AC=AB\cdot DC+AD\cdot BC(3)$ .Επίσης $\displaystyle AF=CE, AE=FC\,\,\,(4))$

Από τις σχέσεις (1),(2),(3),(4) έχουμε: $\displaystyle AC\cdot DB=\frac{\eta \mu \widehat{\omega }}{\eta \mu \widehat{\rho }}\cdot (AD\cdot AF+AB\cdot AE)\,\,\,(5))$

Όμως με ν. ημιτόνων στο $\displaystyle\bigtriangleup ADB\Rightarrow \frac{AB}{\eta \mu \theta } =\frac{AD}{\eta \mu \widehat{\rho }}\,\,\,\wedge \,\,\,\,\bigtriangleup ACB\Rightarrow \frac{AC}{\eta \mu \widehat{\rho }}=\frac{AB}{\eta \mu \widehat{\theta }}\Rightarrow AC=\frac{\eta \mu \widehat{\rho }}{\eta \mu \widehat{\omega }}\cdot DB(6)$ .

Οι σχέσεις (5) , (6) μα δίνουν το ζητούμενο , δηλαδή : $\boxed {AC^{2}=AD\cdot AF+AB\cdot AE}$