mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2019 2:08 pm**

Χρόνια Πολλά και Χριστός Ανέστη!

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων x,y

που είναι τέτοια ώστε $3^{x}+2=5^{y}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2019 9:50 pm**

Δύσκολη!

Για y=1

παίρνουμε

. Για $y\geq 2$ παίρνουμε $\mod{25}$ κι έτσι $3^x \equiv -2 \pmod{25} \ \ (1)$ και λόγω του ότι $ord_{25}{3}=20$ , οι δυνάμεις $3^x \pmod{25}$ επαναλαμβάνονται κάθε

κι έτσι διαιρώντας τον εκθέτη

με το

, βρίσκουμε ότι για να ισχύει η (1)

πρέπει $x\equiv 13\pmod{20}$ , έστω x=20k+13

. Αντικαθιστώντας στην αρχική και παίρνοντας $\mod{11}$ (λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε $3^{10}\equiv 1\pmod{11}$ ) παίρνουμε τελικά $5^y\equiv -4\pmod{11} \ \ (2)$ και λόγω του ότι $ord_{11}5=5$ , άρα οι μόνες τιμές για το

που αρκεί να δοκιμάσουμε είναι οι y=0,1,2,3,4

για καμία από τις οποίες δεν ισχύει η (2)

.

Άρα μοναδική λύση η (x,y)=(1,1)

.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 08, 2021 9:17 pm**

cretanman έγραψε: Τετ Μάιος 01, 2019 9:50 pm Δύσκολη!

Για παίρνουμε . Για $y\geq 2$ παίρνουμε $\mod{25}$ κι έτσι $3^x \equiv -2 \pmod{25} \ \ (1)$ και λόγω του ότι $ord_{25}{3}=20$ , οι δυνάμεις $3^x \pmod{25}$ επαναλαμβάνονται κάθε κι έτσι διαιρώντας τον εκθέτη με το , βρίσκουμε ότι για να ισχύει η πρέπει $x\equiv 13\pmod{20}$ , έστω . Αντικαθιστώντας στην αρχική και παίρνοντας $\mod{11}$ (λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε $3^{10}\equiv 1\pmod{11}$ ) παίρνουμε τελικά $5^y\equiv -4\pmod{11} \ \ (2)$ και λόγω του ότι $ord_{11}5=5$ , άρα οι μόνες τιμές για το που αρκεί να δοκιμάσουμε είναι οι για καμία από τις οποίες δεν ισχύει η .

Άρα μοναδική λύση η .

Αλέξανδρος

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει το σημείο αυτό ?- $ord_{25}{3}=20$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 10, 2021 8:58 am**

Joaakim έγραψε: Δευ Φεβ 08, 2021 9:17 pm
Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει το σημείο αυτό ?- $ord_{25}{3}=20$

Καλημέρα! Εάν n>1

ένας ακέραιος και

ένας ακέραιος πρώτος προς το

, τότε το $ord_n{a}$ ("τάξη του $a \ mod n$ " στα ελληνικά) ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός ακέραιος

ώστε $a^x \equiv 1 \pmod{n}$ .

Άρα το παραπάνω σημαίνει ότι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος

ώστε $3^x\equiv 1\pmod{25}$ είναι το

.

Λόγω του θεωρήματος Euler ισχύει ότι $a^{\varphi{(n)}}\equiv 1 \pmod{n}$ , αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι το $ord_n{a}$ διαιρεί το $\varphi{(n)}$ . Γι'αυτό όταν αναζητούμε την τάξη ενός ακεραίου $a \ mod n$ ψάχνουμε πάντα στους διαιρέτες του $\varphi{(n)}$ . Έτσι, αφού $\varphi{(25)}=20$ άρα η τάξη του $3 \ mod 25$ είναι κάποιος διαιρέτης του

και αφού κανένας εκ των δυνάμεων $3^1, \ 3^2, \ 3^4, \ 3^5, \ 3^{10} \ mod 25$ δεν είναι ίσο με

, συμπεραίνουμε ότι $ord_{25}{3}=20$

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 10, 2021 4:07 pm**

Αν $x\geq 2$
Αδύνατη με mod9,7,13

Αν

μοναδική λύση η (x,y,):(1,1)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 10, 2021 5:08 pm**

2nisic έγραψε: Τετ Φεβ 10, 2021 4:07 pm Αν $x\geq 2$
Αδύνατη με

Αν μοναδική λύση η

Θα μπορούσες να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου; Η παραπάνω απέχει πάρα πολύ από το να μπορεί να θεωρηθεί ως λύση και σίγουρα δε θα έπαιρνε πάρα ελάχιστες έως καθόλου μονάδες σε επίπεδο διαγωνισμών.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 10, 2021 6:26 pm**

cretanman έγραψε: Τετ Φεβ 10, 2021 5:08 pm
2nisic έγραψε: Τετ Φεβ 10, 2021 4:07 pm Αν $x\geq 2$
Αδύνατη με

Αν μοναδική λύση η
Θα μπορούσες να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου; Η παραπάνω απέχει πάρα πολύ από το να μπορεί να θεωρηθεί ως λύση και σίγουρα δε θα έπαιρνε πάρα ελάχιστες έως καθόλου μονάδες σε επίπεδο διαγωνισμών.

Αλέξανδρος