mathematica.gr • Σχέση από το πουθενά

Σελίδα 1 από 1

Σχέση από το πουθενά

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 29, 2019 11:19 pm

από JimNt.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

ABC

, το ορθόκεντρο του

και το αντιδιαμετρικό του

,

στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC

ABC

. Η παράλληλη από το

ως προς την

τέμνει την

στο

και την

στο

. Αν

είναι το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων HA'A

HA'A

και

AMI

. Να αποδειχτεί $AM\cdot IN= MN \cdot AI$ .

Re: Σχέση από το πουθενά

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 30, 2019 12:24 am

από Xriiiiistos

JimNt. έγραψε: Τετ Μάιος 29, 2019 11:19 pm Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο , το ορθόκεντρο του και το αντιδιαμετρικό του , στον περιγεγραμμένο κύκλο του . Η παράλληλη από το ως προς την τέμνει την στο και την στο . Αν είναι το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων και . Να αποδειχτεί $AM\cdot IN= MN \cdot AI$ .

$\frac{AM}{AB}=\frac{AI}{AC}\Leftrightarrow AM\cdot AC=AI\cdot AB=l$

Αφού $\widehat{BAH}=\widehat{A{AC}'}$ θεωρώ συμμετρική αντιστροφή πόλου

προς την διχοτόμο της $\widehat{BAC}$ δύναμης

. $I\rightarrow B,M\rightarrow C$ δηλαδή ο κύκλος A,M,I

A,M,I

μετασχηματίζεται στην

και η

στον κύκλο A,B,C

A,B,C

Άρα $H\leftrightarrow A{}'$ και ο κύκλος A,A{}',H

A,A{}',H

μετασχηματίζεται στην HA{}'

HA{}'

.

Αν το N{}'

N{}'

είναι το αντίστροφο του

τότε $N{}'\equiv HA{}'\cap BC$ ως αντίστροφα των κύκλων που ορίζουν το Ν. Το N{}'

N{}'

είναι γνωστό ότι είναι το μέσο της

οπότε από την αντιστροφή έχουμε

συμμετροδιάμεσος στο ABC

ABC

. Αφού

MI//BC

η

είναι συμμετροδιάμεσος και του AMI

AMI

δηλαδή το

AMNI

είναι το αρμονικό τετράπλευρο οπότε $AM\cdot IN=MN\cdot AI$