mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 31, 2019 10:05 am**

Έστω $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο A-B

να είναι αντιστρέψιμος. Συμβολίζουμε με $\mathbb{I} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι ο A+B-AB

είναι αντιστρέψιμος.

Μέχρι 2 Σεπτέμβρη.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 03, 2019 11:11 am**

Ας το κλείσουμε και αυτό. Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο αλλά το πρώτο που βρήκα είναι το πιο κάτω:

Χρησιμοποιώντας ότι A^2=A

και

έχουμε

(A-B)(A+B-AB) = A+AB-AB-BA-B+BAB = A-BA-B+BAB = (I-BA)(A-B)

Αφού ο

είναι αντιστρέψιμος, αρκεί να δείξουμε και ότι ο I-BA

είναι αντιστρέψιμος. Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει αυτό. Τότε υπάρχει $v \neq 0$ ώστε (I-BA)v=0

άρα και

. Τότε

. Αν

τότε θα είχαμε και (A-B)v=Av-Bv=v-v=0

, άτοπο αφού A-B

αντιστρέψιμος. Άρα $Av=u\neq v$ . Τότε Au = A^2v = Av = u

και

. Τότε όμως (A-B)(u-v) = Au-Av-Bu+Bv = u-u-v+v

πάλι άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 03, 2019 12:43 pm**

Ωραία Δημήτρη. Παραθέτω όλη την άσκηση.

Έστω $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο A-B

να είναι αντιστρέψιμος και $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ . Συμβολίζουμε με $\mathbb{I} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι:

αν $\alpha \notin \{0,-1\}$ τότε ο $\mathbb{I}+\alpha AB$ δεν είναι απαραίτητα αντιστρέψιμος.
αν $\alpha \in \{0,-1\}$ τότε ο $\mathbb{I}+\alpha AB$ είναι αντιστρέψιμος.
ο είναι αντιστρέψιμος.
αν $\alpha \beta \neq 0$ τότε ο $\alpha A+\beta B$ είναι αντιστρέψιμος.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 03, 2019 3:49 pm**

Το (iii) έχει ήδη αποδειχθεί. Το (ii) έχει επίσης ουσιαστικά αποδειχθεί.

Έστω $\alpha \neq 0,-1$ . Θέτουμε $A =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1/\alpha & 1 \end{pmatrix}$ και $B =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι A^2=A

και

. Επίσης, $\displaystyle A-B =\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1/\alpha & 1 \end{pmatrix}.$ Έχουμε $\det(A-B) = -1 - \tfrac{1}{\alpha} \neq 0$ . Οπότε ο A-B

είναι αντιστρέψιμος. Αλλά $AB =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1/\alpha & -1/\alpha \end{pmatrix}$ οπότε ο $I + \alpha AB =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ δεν είναι αντιστρέψιμος. Αυτό αποδεικνύει το (i).

Τέλος για το (iv) ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι $(\alpha A + \beta B)v = 0$ για κάποιο $v \neq 0$ . Υποθέτουμε ότι Av=u

. Τότε

, $Bv = -\frac{\alpha}{\beta}Av = -\frac{\alpha}{\beta}u$ και τέλος $Bu = -\frac{\beta}{\alpha}B^2v = -\frac{\beta}{\alpha}Bv = u$ .

Αφού τώρα είναι Au=u