mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 01, 2019 10:25 am**

: 10άρι.png (9.36 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Σημείο

κινείται στη βάση BC=8

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με AB=5 , AC=7

.

Φέρω $ST\perp AB , SP\perp AC$ . Υπάρχει θέση του

, για την οποία : (ATSP)=10

;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 01, 2019 11:34 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 01, 2019 10:25 am 10άρι.pngΣημείο κινείται στη βάση , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με .

Φέρω $ST\perp AB , SP\perp AC$ . Υπάρχει θέση του , για την οποία : ;

Όχι, γιατί η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι $\displaystyle \frac{{75\sqrt 3 }}{{13}} \simeq 9,9926.$

: 10αρι.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

Με ν. συνημιτόνου $\displaystyle \widehat B = 60^\circ,$ έτσι αν BT=x

τότε $BS=2x, ST=x\sqrt 3$ και με τον τύπο του Ήρωνα $(ABC)=10\sqrt 3.$

$\displaystyle 2(ABC) = 5ST + 7SP \Leftrightarrow 5x\sqrt 3 + 7SP = 20\sqrt 3 \Leftrightarrow SP = \frac{{(20 - 5x)\sqrt 3 }}{7}$

Με Π. Θ στο SPC

βρίσκω $\displaystyle PC = \frac{{11}}{7}(4 - x)$ και στη συνέχεια $\displaystyle AP = \frac{{11x + 5}}{7}$

$\displaystyle (ATPS) = \frac{1}{2}\left( {AT \cdot ST + AP \cdot SP} \right) = ... = \frac{{2\sqrt 3 }}{{49}}\left( { - 26{x^2} + 110x + 25} \right),$ που παρουσιάζει για

$\displaystyle x = \frac{{55}}{{26}}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{{(ATPS)_{\max }} = \frac{{75\sqrt 3 }}{{13}}}$

mathematica.gr

10άρι

10άρι

Re: 10άρι