mathematica.gr • Διοφαντική Εξίσωση

Σελίδα 1 από 1

Διοφαντική Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:36 pm

από achilleas

Να βρεθούν όλες οι τριάδες (x,y,z)

(x,y,z)

των ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
$\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz=2003.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 03, 2019 5:22 pm

από Mihalis_Lambrou

achilleas έγραψε: Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:36 pm Να βρεθούν όλες οι τριάδες των ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
$\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz=2003.$

Απάντηση

(x,y,z)=(668, 668, 667)

ή αναδιάταξη αυτού.

Η εξίσωση γράφεται (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2003=

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2003=

πρώτος. Δεδομένου ότι ο δεύτερος παράγοντας είναι $\ge 0$ έπεται

$x+y+z=1, \, x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=2003$ ή ανάποδα.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε z=1-x-y

z=1-x-y

, άρα η δεύτερη γίνεται μετά τις απλοποιήσεις γίνεται

3x^2+3y^2-3x-3x+3xy=2002

3x^2+3y^2-3x-3x+3xy=2002

. Αδύνατη αφού το 2002

2002

δεν είναι πολλαπλάσιο του

. Συνεπώς μένει η

$x+y+z=2003, \, x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1$ .

Άρα από την δεύτερη (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2

. Όμως το

ως άθροισμα τριών τετραγώνων γράφεται μόνο ως 1^2+1^2+0^2

1^2+1^2+0^2

και κυκλικά. Άρα χωρίς βλάβη x-y=1, y-z=-1, z-x=0

x-y=1, y-z=-1, z-x=0

, οπότε

x=z=y+1

. Πίσω στην x+y+z=2003

x+y+z=2003

παίρνουμε

x=z=668, y=667

που επαληθεύει. Ελπίζω μην έχασα κάποιο πρόσημο.

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 03, 2019 8:29 pm

από achilleas

Καλησπέρα σας!

Μετά την λύση του κ. Μιχάλη, ας προσθέσω ότι πρόκειται για το 2ο ΘΕΜΑ του 17ου Nordic Mathematical Contest.

Φιλικά,

Αχιλλέας