mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 21, 2019 2:14 pm**

: Χάνοντας τα μισά.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο του τμήματος

, το οποίο συνδέει τα μέσα των απέναντι

πλευρών AB , CD

, του τετραπλεύρου ABCD

. Σχεδιάζω τα παραλληλόγραμμα :

AMDS ,BMSP

. Δείξτε ότι : $(MDSP)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 21, 2019 3:42 pm**

$MS\cap AD\equiv E$ το οποίο είναι μέσο του

και

.
k μέσο

τότε το

είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο αφού EN,LK

ΕΊΝΑΙ ίσες και παράλληλες με το μισό της AC. Επιπροσθέτως έχουμε E,M,K συνευθειακά.

$(MDSP)=(MDS)+(PSM)=\frac{(PSMB)+(MASD)}{2}=$

=(SBM)+(MAD)=2(MED)+2(BME)=2(BMDE)

2(BEMD)=2(BME)+2(DEM)=(BEK)+(DEK)=(BKDE)=

$=(BDK)+(EBD)=\frac{(ABD)+(BDC)}{2}=\frac{(ABCD)}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 21, 2019 5:02 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 21, 2019 2:14 pm Χάνοντας τα μισά.pngΤο σημείο είναι το μέσο του τμήματος , το οποίο συνδέει τα μέσα των απέναντι

πλευρών , του τετραπλεύρου . Σχεδιάζω τα παραλληλόγραμμα :

. Δείξτε ότι : $(MDSP)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ .

Πολλά παραλληλόγραμμα!!!

Έστω

τα μέσα των BC, AD.

Το

είναι παραλληλόγραμμο και $(KLTN)=\dfrac{1}{2} (ABCD).$

: Χάνοντας τα μισά.png (27.14 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Προεκτείνω την

κατά τμήμα LQ=PL,

οπότε το

είναι παραλληλόγραμμο και SM||=PB||=AQ.

Άρα

που σημαίνει ότι τα D, M, Q

είναι συνευθειακά και $LM||=\dfrac {1}{2} PD.$ Δηλαδή και το PDNL

είναι παραλληλόγραμμο. Άρα τα τετράπλευρα MPSD, KLTN

έχουν ίσες διαγωνίους PD=LN, SM=TK

και τις

γωνίες των διαγωνίων ίσες (ως εντός εκτός και επί τα αυτά). Επομένως, $\boxed{(MPSD) = (KLTN) = \frac{1}{2}(ABCD)}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 21, 2019 7:14 pm**

george visvikis έγραψε: Πέμ Νοέμ 21, 2019 5:02 pm Πολλά παραλληλόγραμμα!!!

Πολλά συγχαρητήρια !!!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 22, 2019 2:59 am**

Ας δούμε πρώτα μια απλή πρόταση:

: Λήμμα τετραπλεύρου.png (23.59 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

Αν έχω ένα τετράπλευρο ABCD

και $M\,\,,G$ τα μέσα των απέναντι πλευρών $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA$ , τότε επειδή $AG = GD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,2m = a + b$ : $\left( {MAD} \right) = \left( {ABG} \right) + \left( {DCG} \right)$ .

Τώρα στην άσκηση :

Κατασκευή ( λίγο διαφορετικά από την εκφώνηση αλλά ισοδύναμη)

: Χάνοντας τα μισά.png (32.56 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

Κατασκευάζω το πρώτο παραλληλόγραμμο AMDS

. Μετά θεωρώ το συμμετρικό ,

, του

ως προς το

.

Αν

το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου AMDS

και

το μέσο του

το τετράπλευρο GLFN

είναι παραλληλόγραμμο και αν $\boxed{MF = x}$ τότε $\boxed{MS = 2x}$

Αλλά από το τρίγωνο PBC

$\boxed{MF// = \frac{{PB}}{2}} \Rightarrow PB = 2x = //SM$ . Δηλαδή το

τετράπλευρο MBPS

είναι το άλλο παραλληλόγραμμο της εκφώνησης

Είναι: $\left( {MAD} \right) + \left( {MBC} \right) = \left( {ALG} \right) + \left( {ADN} \right) + \left( {BLF} \right) + \left( {CNF} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {ABCD} \right)\,\,\,(1)$

Από την άλλη μεριά : $\left\{ \begin{gathered} \left( {SDM} \right) = \left( {MAD} \right) \hfill \\ \left( {SPM} \right) = \left( {BPM} \right) = \left( {MBC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Προσθέτω κατά μέλη κι έχω λόγω και της (1)

:

$\boxed{\left( {MDSP} \right) = \left( {MAD} \right) + \left( {MBC} \right) = \frac{1}{2}\left( {ABCD} \right)}$

mathematica.gr

Χάνοντας τα μισά

Χάνοντας τα μισά

Re: Χάνοντας τα μισά

Re: Χάνοντας τα μισά

Re: Χάνοντας τα μισά

Re: Χάνοντας τα μισά