mathematica.gr

Έστω Α αριθμήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο P(Α) δεν είναι αριθμήσιμο.

andromeda.pappa έγραψε: Τετ Δεκ 18, 2019 11:12 pm Έστω Α αριθμήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο P(Α) δεν είναι αριθμήσιμο.

Είναι στάνταρ θεωρία και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Συνόλων, στο κεφάλαιο των πληθαρίθμων, οπότε δεν υπάρχει λόγος να το επαναλάβουμε εδώ ως χιλιοειπωμένο.

Δες τα βιβλία που σου έδωσε δωρεάν το κράτος. Αν δεν βρεις το θεώρημα, πες μας ποιο βιβλίο διαβάζεις και θα σε παραπέμψουμε στην σχετική σελίδα. Αν πάλι δυσκολευτείς να καταλάβεις την απόδειξη, πες μας που κόλλησες και θα σε κατατοπίσουμε.

Και κάτι ακόμα: Αν θέλεις να απαντάμε στις ερωτήσεις σου, καλό είναι να ανταποκρίνεσαι και εσύ σε αυτές που σου θέτουν συνάδελφοι με σκοπό να σου διδάξουν κάτι. Π.χ. βλέπε το ποστ του Δημήτρη εδώ

Πρέπει να προσθέσεις στις υποθέσεις ότι το είναι άπειρο σύνολο, διαφορετικά δεν ισχύει.

stranger έγραψε: Πέμ Δεκ 19, 2019 8:46 am Πρέπει να προσθέσεις στις υποθέσεις ότι το είναι άπειρο σύνολο, διαφορετικά δεν ισχύει.

Το συνηθισμένο είναι να λέμε ότι ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο αν είναι είτε πεπερασμένο είτε
ισοπληθικό με το
Μερικοί όμως συγγραφείς (Ελληνες κυρίως) με τον όρο αριθμήσιμο σύνολο ορίζουν ένα
σύνολο που είναι ισοπληθικό με το .
Και επειδή μάλλον η διατύπωση είναι από Ελληνικό βιβλίο θα είναι διατυπωμένη έτσι.

Στην ουσία.
Ισχύει το εξής:
Αν είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο και
το δυναμοσύνολο του
τότε δεν υπάρχει συνάρτηση
με .

Σωστά! Αυτό που ισχύει γενικά είναι ότι για κάθε σύνολο .

andromeda.pappa έγραψε: Τετ Δεκ 18, 2019 11:12 pm Έστω Α αριθμήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο P(Α) δεν είναι αριθμήσιμο.

Μπορείς να μας πεις τις σκέψεις σου πάνω σε αυτή την άσκηση;
Ti γίνεται αν θέλουμε να αποδείξουμε το ασθενέστερο ;
Έχεις καμία ιδέα;

Δεν είμαι σίγουρη αλλά γνωρίζουμε πως αν |Α|= n (όπου n ο αριθμός των στοιχείων του Α) τότε |P(A)| = 2^n. Αντικαθιστούμε στην δοσμένη ανίσωση και την αποδεικνύουμε με επαγωγή.

andromeda.pappa έγραψε: Τρί Δεκ 24, 2019 2:08 pm Δεν είμαι σίγουρη αλλά γνωρίζουμε πως αν |Α|= n (όπου n ο αριθμός των στοιχείων του Α) τότε |P(A)| = 2^n. Αντικαθιστούμε στην δοσμένη ανίσωση και την αποδεικνύουμε με επαγωγή.

Όχι δεν είναι σωστός ο συλλογισμός. Αληθεύει μόνο για πεπερασμένα σύνολα αλλά η ερώτηση αφορά αριθμήσιμο σύνολο. Εκεί δεν έχει νόημα η επαγωγή.

Παραπάνω σε παρότρυνα να κοιτάξεις το βιβλίο σου. Τι ακριβώς κοίταξες;

Ευχαριστώ για την βοήθεια. Στις σημειώσεις μου βρήκα πως λύνεται με απαγωγή σε άτοπο δημιουργοντας ένα σύνολο Β του οποίου τα στοιχεία x δεν ανήκουν στην συνάρτηση f. Αλλά αφού η f είναι επί καταλήγουμε σε άτοπο. Είναι σωστό αυτό το σκεπτικό;

andromeda.pappa έγραψε: Τετ Δεκ 25, 2019 12:54 pm Ευχαριστώ για την βοήθεια. Στις σημειώσεις μου βρήκα πως λύνεται με απαγωγή σε άτοπο δημιουργοντας ένα σύνολο Β του οποίου τα στοιχεία x δεν ανήκουν στην συνάρτηση f. Αλλά αφού η f είναι επί καταλήγουμε σε άτοπο. Είναι σωστό αυτό το σκεπτικό;

Για να βοηθήσω, όπως ειπώθηκε παραπάνω, είναι καλό το μαθηματικό κείμενο να είναι γραμμένο σε . Κάποιες οδηγίες βρίσκονται εδώ.