mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 22, 2019 2:27 pm**

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} (sin\frac{1}{x}+cos\frac{1}{x})^x$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 22, 2019 3:14 pm**

mick7 έγραψε: Κυρ Δεκ 22, 2019 2:27 pm Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} (sin\frac{1}{x}+cos\frac{1}{x})^x$

Έχω αμφιβολίες ως προς το κατά πόσο η παρακάτω λύση στέκει ...Ίσως πρώτα πρέπει να γίνει η αλλαγή μεταβλητής $y=\frac{1}{x}$ και μετά αυτό με το $\ln$ .

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x} \right )^x &= \lim_{x \rightarrow +\infty} \exp \left( x \ln \left ( \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x} \right ) \right) \\ &= \exp \left ( \lim_{y\rightarrow 0} \frac{\ln \left ( \sin y + \cos y \right )}{y} \right )\\ &=\exp \left ( \lim_{y\rightarrow 0} \frac{\cos y - \sin y}{\sin y +\cos y} \right ) \\ &= \exp(1) \end{aligned}}$
Άρα:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x} \right )^x=e}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 22, 2019 3:22 pm**

Πολύ σωστά...Χρησιμοποιείς τον Ντελοπιταλ σε κάποιο βήμα...έτσι ?

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 22, 2019 3:48 pm**

Το όριο υπάρχει και για αυτήν την ακολουθία;

$a_n=2n\pi+\frac{3\pi}{2}$

Edit: κάτι σκέφτηκα αλλά είναι πολύ πρόχειρο , αγνοήστε τον προβληματισμό μου.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 22, 2019 3:54 pm**

mick7 έγραψε: Κυρ Δεκ 22, 2019 2:27 pm Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} (sin\frac{1}{x}+cos\frac{1}{x})^x$

Πραγματικά μου είναι αδύνατον να καταλάβω γιατί είναι στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών μία στάνταρ άσκηση ορίων, από αυτές που εμφανίζονται κατά κόρον σε βιβλία για υποψήφιους. Δεν διακρίνω καμία διασκεδαστική χροιά στην εν λόγω άσκηση, πέρα από την εκπαιδευτική της αξία της, έστω κοινότυπη.

Ας δούμε άλλη λύση εκτός σχολικής ύλης. Κάνω μόνο τα κύρια βήματα για να μην επαναλαμβάνω χιλιοειπωμένα.

$\displaystyle{ \left (\sin\frac{1}{x}+\cos\frac{1}{x}\right )^x= \left(\frac{1}{x}+1- \frac{1}{x^2} + O \left(\frac{1}{x^3}\right)\right) ^x= \left(1+ \frac{1}{x} +O \left(\frac{1}{x^2}\right)\right) ^x \to e}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 23, 2019 1:26 am**

mick7 έγραψε: Κυρ Δεκ 22, 2019 3:22 pm Πολύ σωστά...Χρησιμοποιείς τον Ντελοπιταλ σε κάποιο βήμα...έτσι ?

Ναι στο τελευταίο βήμα πριν καταλήξω στο $\exp(1)$ .

mathematica.gr

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο