mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 15, 2010 11:55 pm**

Καλησπέρα.
Μια άσκηση με όριο (συνάρτησης) ολοκληρώματος που έχει τη δυσκολία της είναι η εξής:

Να υπολογισθεί το όριο

$\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to {0^ + }} \int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} {\frac{{{e^{\frac{1}{t}}}}}{t}} dt}$

Θωμάς

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 16, 2010 12:27 am**

Είναι
$\displaystyle{I = \int\limits_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} {\frac{{{e^{\frac{1}{t}}}}}{t}dt} \mathop = \limits_{dt = - \frac{{du}}{{{u^2}}}}^{t = \frac{1}{u}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^x {\frac{{{e^u}}}{u}du} }$
Για χ > 0
$\displaystyle{\frac{x}{2} \le u \le x \Rightarrow {e^{\frac{x}{2}}} \le {e^u} \le {e^x} \Rightarrow \frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{u} \le \frac{{{e^u}}}{u} \le \frac{{{e^x}}}{u}}$

ολοκληρώνοντας έχουμε
$\displaystyle{{e^{\frac{x}{2}}}\ln 2 \le I \le {e^x}\ln 2}$
από ΚΠ΄για χ στο 0 από δεξιά παίρνουμε το ζητούμενο

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 16, 2010 12:35 am**

mathxl έγραψε:Είναι
$\displaystyle{I = \int\limits_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} {\frac{{{e^{\frac{1}{t}}}}}{t}dt} \mathop = \limits_{dt = - \frac{{du}}{{{u^2}}}}^{t = \frac{1}{u}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^x {\frac{{{e^u}}}{u}du} }$
Για χ > 0
$\displaystyle{\frac{x}{2} \le u \le x \Rightarrow {e^{\frac{x}{2}}} \le {e^u} \le {e^x} \Rightarrow \frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{u} \le \frac{{{e^u}}}{u} \le \frac{{{e^x}}}{u}}$

ολοκληρώνοντας έχουμε
$\displaystyle{{e^{\frac{x}{2}}}\ln 2 \le I \le {e^x}\ln 2}$
από ΚΠ΄για χ στο 0 από δεξιά παίρνουμε το ζητούμενο

Ναι Βασίλη έτσι το σκέφτηκα και εγώ.
Να πω όμως και την αλήθεια μόνο όταν είδα την απάντηση κατάλαβα τι έπρεπε να κάνω αν και είχα κάνει την αλλαγή της μεταβλητής.
Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 16, 2010 12:36 am**

Παρόμοιας λογικής όρια έχουμε και εδώ viewtopic.php?f=54&t=5667. Δύσκολο όριο και το εξής viewtopic.php?f=54&t=5750 αλλά κα αυτό viewtopic.php?f=54&t=6200, για να είναι λίγο συγκεντρωμένα

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 16, 2010 1:35 am**

Ένας ακόμα τρόπος :

$\displaystyle{\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}\,dt=\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\big(\frac{1}{t}\big)^{n}}{tn!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\frac{1}{t^{n+1}}\,dt=\ln t\Big|_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}\Big(\frac{t^{-n}}{-n}\Big)\Big|_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}=\ln2+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}\frac{2^{n}-1}{2n}x^{n}\stackrel{x\to0^+}{\longrightarrow}\ln2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 18, 2010 1:15 pm**

Αν δεν κάνω λάθος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 18, 2010 1:21 pm**

APO έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος

Σωστά.

Όμως ας προσθέσω αυτή είναι και η μέθοδος του Βασίλη (mathxl) παραπάνω. Η μόνη διαφορά είναι ότι ο Βασίλης έβαλε 1/t = u για να είναι ευκολότερες οι πράξεις. Αλλιώς, από μαθηματικής πλευράς, είναι η ίδια μέθοδος.

Μ.

mathematica.gr

Οριο και ολοκλήρωμα

Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα