mathematica.gr

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο και ύψη .
Θεωρούμε τις τομές του κύκλου με τον κύκλο του του .

α) Να αποδείξετε ότι .
β) Αν ο κύκλος τέμνει τον στα να δείξετε ότι συνευθειακά.

Καλησπέρα.
Εκτός φακέλου:
Δεν είναι δύσκολο να δούμε-θεωρώντας αρνητική αντιστροφή κέντρου -ότι αρκεί ο κύκλος -όπου να μένει σταθερός σε αυτήν την αντιστροφή.
Ας είναι η προβολή του στην .
Τότε αντίστροφα ως προς τον (απλό) οπότε οι είναι ορθογώνιοι.
Η (αρνητική) αντιστροφή κέντρου διατηρεί τις γωνίες μεταξύ των καμπύλων,οπότε ορθογώνιοι.Όμως ο είναι η εκ του παράλληλη στην ,συνεπώς το παραπάνω σημαίνει πως το κέντρο του βρίσκεται πάνω σε αυτή την ευθεία.Βρίσκεται και στην ,αφού το κέντρο του οπότε είναι το .Αφού το κέντρο του ταυτίζεται με του ,η αντιστροφή φιξάρει τον κλπ...
Γράφτηκε βιαστικά..

Όμορφη
Oμοιοθεσία λόγου από το στέλνει τον κύκλο ΣΤΟΝ άρα τα κέντρα των κύκλων είναι συνευθειακά με το . Δηλαδή το ανήκει στην μεσοκάθετη του άρα . συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων στο . συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των το οποίο είναι πάλι το . Ως αποτέλεσμα το ανήκει στον ριζικό άξονα των .(Ο περίκεντρο του ABC)Ισχύει (AO ισογώνια συζηγή με την ΗΑ στο ΑΒC με ABC,AZE όμοια) και αυτό σημαίνει πως ριζικός άξονας των . Επιπλέον αφού ΆΡΑ ριζικός άξονας των εν κατακλείδι δηλαδή συνευθειακά.