mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 01, 2020 10:22 pm**

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την πρώτη μέρα, 1 Μαρτίου 2020

Πρόβλημα 1. Φέρτε παράδειγμα αριθμού που διαιρείται με το 2020, στον οποίο καθένα από τα δέκα ψηφία εμφανίζεται ίδιο αριθμό φόρων. (Μ.Εβδοκίμοβ)

Πρόβλημα 2. Υπάρχει άραγε τέτοια μη περιοδική συνάρτηση

, που ορίζεται σε όλη την ευθεία των αριθμών, ώστε για οποιοδήποτε

να επαληθεύεται η ισότητα $\displaystyle{f(x+1)=f(x+1)f(x)+1}$ ; (Άγνωστος)

Πρόβλημα 3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC

$\left ( AB < BC \right )$ φέραμε το ύψος

. Το σημείο

είναι το συμμετρικό του σημείου

ως προς την ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών

και

. Να αποδείξετε, ότι η ευθεία

περιέχει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

. (Α.Σοκόλοβ)

Πρόβλημα 4. Σε σκακιέρα $8 \times 8$ αποκόψαμε δέκα κελιά. Είναι γνωστό ότι μεταξύ των αποκομμένων κελιών υπάρχουν και μαύρα καθώς και άσπρα. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ορθογωνίων των δυο κελιών που μπορούμε μετά από αυτό να αποκόψουμε από αυτή την σκακιέρα; (Α.Κουμπάρεβ)

Πρόβλημα 5. Υπάρχει άραγε τετράεδρο, στις τομές του οποίου με δυο διαφορετικά επίπεδα να προκύψουν τετράγωνα $1 \times 1$ και $100 \times 100$ ; (Μ. Εβδοκίμοβ)

Πρόβλημα 6. Στον πίνακα είναι γραμμένοι

διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί. Με μια κίνηση μπορούμε να χωρίσουμε τους γραμμένους στο πίνακα αριθμούς σε ζεύγη με τυχαίο τρόπο και κάθε ζεύγος αριθμών να το αντικαταστήσουμε με το άθροισμα και την διαφορά αυτών των αριθμών. (όχι απαραίτητα αφαιρώντας από τον μεγαλύτερο των μικρότερο, όλες οι αντικαταστάσεις γίνονται ταυτόχρονα). Να αποδείξετε ότι στον πίνακα δεν θα ξαναεμφανιστούν

διαδοχικοί αριθμοί. (Α. Γκριμπάλκο)

Πηγή

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 02, 2020 12:09 am**

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Μαρ 01, 2020 10:22 pm

Πρόβλημα 3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο $\left ( AB < BC \right )$ φέραμε το ύψος . Το σημείο είναι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών και . Να αποδείξετε, ότι η ευθεία περιέχει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . (Α.Σοκόλοβ)

: 248.PNG (31.01 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Έστω

μέσο του

του

και $L\equiv AB\cap PH$

Θα είναι NP=NH=NB=NC

άρα το

είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου

και έτσι $\angle CBP=\angle CHP=\angle AHL$
Όμως $HP\perp MN\parallel AB\Rightarrow HP\perp AB$ άρα $\angle CBP=\angle AHL=90^{\circ}-\angle A$
και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 02, 2020 11:19 am**

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Μαρ 01, 2020 10:22 pm LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την πρώτη μέρα.

Πρόβλημα 2. Υπάρχει άραγε τέτοια μη περιοδική συνάρτηση , που ορίζεται σε όλη την ευθεία των αριθμών, ώστε για οποιοδήποτε να επαληθεύεται η ισότητα $\displaystyle{f(x+1)=f(x+1)f(x)+1}$ ; (Άγνωστος)

Πηγή

Οχι δεν υπάρχει.

Για $x\in \mathbb{R}$

είναι $f(x)\neq 0,1$
Αλλά
$f(x+1)=\frac{1}{1-f(x)}$
ετσι
$f(x+2)=\dfrac{1}{1-f(x+1)}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{1-f(x)}}=-\dfrac{1-f (x)}{f(x)}$
και
$f(x+3)=\dfrac{1}{1-f(x+2)}=....=f(x)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 02, 2020 12:35 pm**

έγραψε: Κυρ Μαρ 01, 2020 10:22 pm LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την πρώτη μέρα.

Πρόβλημα 1. Φέρτε παράδειγμα αριθμού που διαιρείται με το 2020, στον οποίο καθένα από τα δέκα ψηφία εμφανίζεται ίδιο αριθμό φόρων. (Μ.Εβδοκίμοβ)

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2020

έχει παράγοντα το 101

, ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί με το

μας δίνει τον αριθμό 1111

. Πολλαπλασιάζοντας αυτόν το αριθμό με καθένα από τα ψηφία, εκτός του μηδέν, προκύπτουν τετραψήφιοι αριθμοί με ίδια ψηφία και όλοι τους είναι πολλαπλάσια του 1111

. Άρα και του 101

.

Σχηματίζουμε τον αριθμό

1111222233334444555566667777888899990000

ο αριθμός αυτός έχει όλα τα ψηφία και το καθέ ένα από αυτά ίδιο αριθμό φορών και διαιρείται με το 2020

. Πράγματι είναι της μορφής

$1111 \cdot 10^{4 \cdot 9} +2222\cdot 10^{4 \cdot 8}+ \ldots + 9999 \cdot 10^{4 \cdot 1}$

και κάθε όρος του αθροίσματος διαιρείται με το 101

και με το

(από το παράγοντα της δύναμης του δέκα), και αφού είναι πρώτοι μεταξύ τους και με το 2020

.

mathematica.gr

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 1η μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 1η μέρα)