mathematica.gr • Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

Σελίδα 1 από 1

Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 28, 2020 7:17 pm

από Γιώργος Μήτσιος

Καλησπέρα. Με αφορμή και την παρατήρηση του Γιώργου εδώ

: Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG (28.06 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

$\bigstar$ Το τρίγωνο ABC

ABC

έχει πλευρές $\left ( c,b,a \right )=\left ( 3,4,5 \right )$ και

το έγκεντρο αυτού. Αν $BE \perp CI$ με $E \in CA$ τότε

Να εξεταστεί αν το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου BEC

BEC

. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Re: Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 30, 2020 10:04 am

από george visvikis

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Μαρ 28, 2020 7:17 pm Καλησπέρα. Με αφορμή και την παρατήρηση του Γιώργου εδώ
Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG
$\bigstar$ Το τρίγωνο έχει πλευρές $\left ( c,b,a \right )=\left ( 3,4,5 \right )$ και το έγκεντρο αυτού. Αν $BE \perp CI$ με $E \in CA$ τότε

Να εξεταστεί αν το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

: Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο.png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Στο τρίγωνο BEC

BEC

η

είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε θα είναι και διάμεσος και CB=CE=5, AE=1.

CB=CE=5, AE=1.

Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα ABE, CMB

ABE, CMB

βρίσκω $\displaystyle BE = \sqrt {10} ,CM = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}.$ Αν

είναι η προβολή του

στην

AC,

τότε

ID=DA=1

(ως ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου του ABC

ABC

). Τα τρίγωνα DIC, AEB

DIC, AEB

είναι ίσα,

οπότε $\displaystyle CI = BE = \sqrt {10} ,$ δηλαδή $\displaystyle \frac{{CI}}{{CM}} = \frac{2}{3},$ γεγονός που καθιστά το

βαρύκεντρο του τριγώνου BEC.

BEC.

Re: Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 30, 2020 2:00 pm

από Doloros

: Εδώ έγκεντρο εκεί βαρύκεντρο.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Αν

το σημείο τομής των

με τη

το

θα είναι μέσο της βάσης

του ισοσκελούς τριγώνου CBE

CBE

.

Έστω ακόμα,

το σημείο τομής της

με την

. Θα είναι ( Θ διχοτόμου ),

$\boxed{x = AM = \frac{{4 \cdot 3}}{{3 + 5}} = \frac{3}{2}}$ κι αφού προφανώς EA = 5 - 4 = 1

EA = 5 - 4 = 1

θα έχουμε: $\boxed{ME = \frac{5}{2} = MC}$ .

Άρα η

είναι διχοτόμος μεν του $\vartriangle ABC$ αλλά διάμεσος του $\vartriangle BEC$ συνεπώς

βαρύκεντρο του τριγώνου αυτού θα είναι το

.