mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm**

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο

του $\Gamma\Delta$ και
σημείο

στην προέκταση του

, ώστε

.
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ ,

κάθετα.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 11, 2020 11:01 pm**

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.

Με Αναλυτική είναι εύκολη: Αρχή των αξόνων το

και $B(b,0),\,C(0,c)$ οπότε Z(2b,0)

. To

το βρίσκουμε από την τομή των

$\displaystyle{BC: \, y= -\dfrac {c}{b} (x-b)}$ και $AD: \, y=\dfrac {b}{c}x$ .

Θα βρούμε $\displaystyle{D\left ( \dfrac { bc^2}{b^2+c^2} , \dfrac { b^2c}{b^2+c^2}\right ) }$ και άρα $\displaystyle{E \left ( \dfrac { bc^2}{2(b^2+c^2) }, \dfrac { c(2b^2+c^2)}{2(b^2+c^2) }\right )}$ .

Οι κλίσεις των $ZD,\, AE$ είναι τώρα άμεσες, και εύκολα ελέγχουμε την ζητούμενη καθετότητα (δεν το έκανα, αλλά είναι χωρίς δυσκολία).

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 11, 2020 11:29 pm**

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.

Καλησπέρα

Θα αποδείξω ότι το σημείο $\Delta$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

ASZ

Το $A\Gamma \Sigma \Delta$ είναι παραλληλόγραμμο αρα

$\Delta \Sigma //A\Gamma$ ,
$\Delta B//\Sigma Z$

Ακόμη $\Gamma \Sigma //A\Delta Λ,\Gamma \Sigma \perp B\Gamma ,A\Lambda \perp \Sigma Z$ Οπότε το σημείο $\Delta$ είναι ορθόκεντρο του $A\Sigma Z$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 11, 2020 11:58 pm**

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.

Μια ακόμη

: 300.PNG (21.67 KiB) Προβλήθηκε 1918 φορές

Έστω $\rm M$ μέσο του $\rm CZ$ .Οπότε αφού $\rm ZD\parallel EM$ αρκεί $\angle MEA=90^{\circ}$ δηλαδή αρκεί $\rm BMEA$ εγγράψιμο.Αρκεί δηλαδή $\rm \angle BEA=\angle BMA=\angle MAC=\angle MCA$ .
Όμως $\rm \dfrac{AZ}{AC}=2\dfrac{AB}{AC}=2\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AD}{DE}$ και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 12, 2020 12:36 am**

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.