mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 13, 2020 11:05 pm**

Έστω $\kappa>0$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \mod k}{n^2+n} = \ln \kappa}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 16, 2020 4:46 pm**

Επαναφορά.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 16, 2020 7:24 pm**

Ισοδύναμα, γράφοντας n = qk+r

με $r \in \{0,1,2,\ldots,k-1\}$ , θέλουμε να υπολογίσουμε το

$\displaystyle S =\sum_{q=0}^{\infty} \sum_{r=1}^{k-1} \frac{r}{(qk+r)^2+(qk+r)} = \sum_{q=0}^{\infty} \sum_{r=1}^{k-1} \left(\frac{r}{qk+r} - \frac{r}{qk+r+1}\right)$

Τηλεσκοπικά όμως, είναι

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{r=1}^{k-1} \left(\frac{r}{qk+r} - \frac{r}{qk+r+1}\right) &= \frac{1}{qk+1} + \frac{1}{qk+2} + \cdots + \frac{1}{qk+k-1} - \frac{k-1}{qk+k} \\ &= \frac{1}{qk+1} + \frac{1}{qk+2} + \cdots + \frac{1}{qk+k} - \frac{1}{q+1} \end{aligned}$

Έχουμε όμως

$\displaystyle \sum_{q=0}^{N} \left( \frac{1}{qk+1} + \frac{1}{qk+2} + \cdots + \frac{1}{qk+k}\right) = H_{(N+1)k} = \log{(N+1)k} + \gamma + o(1)$

και

$\displaystyle \sum_{q=0}^{N} \frac{1}{q+1} = H_{Ν+1} = \log{(N+1)} + \gamma + o(1).$

Εν τέλει παίρνουμε ότι $S = \log{k}$ όπως θέλαμε να δείξουμε.

mathematica.gr

Σειρά Pierre Mounir

Σειρά Pierre Mounir

Re: Σειρά Pierre Mounir

Re: Σειρά Pierre Mounir