mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 20, 2020 7:49 pm**

Ο Χρήστος και ο Σπύρος, οι δύο αγαπητοί φίλοι, με τη γνωστή και δεδομένη αγάπη για τα Μαθηματικά, συναντήθηκαν ξανά στις εξετάσεις του ΑΣΕΠ έτους 2058

, πτυχιούχοι πλέον των Μαθηματικών, κυνηγώντας την τύχη τους. Βγαίνοντας από τις αίθουσες του 3ου ΓΕΛ Πειραιά, άρχισαν να κάνουν μια κουβέντα για τα θέματα που αντιμετώπισαν.
‘Ωραία θέματα, εύκολα!’ Είπε ο Σπύρος.
‘Λίγο πονηρά θα έλεγα, αλλά ευτυχώς ήμουν προετοιμασμένος’, είπε ο Χρήστος.
‘Τι εννοείς;’ Ρώτησε ο Σπύρος.
‘Ε, να αυτό το θέμα που ζητούσε αν οι συναρτήσεις f, g

είναι γνησίως αύξουσες τότε και η σύνθεση τους είναι γνησίως αύξουσα’, απάντησε ο Χρήστος.
‘Μα αυτό είναι πολύ απλό και άμεσο!’, συμπλήρωσε ο Σπύρος.
‘Απλό; Δε θα το έλεγα! Πριν λίγο καιρό παρακολούθησα ένα συνέδριο στο μακρινό Ντουμπάι και ακούγοντας την ομιλία του διεθνούς φήμης Ρώσου Μαθηματικού Ivan Kucobolov όπου εκεί απλά το κατέρριψε με πολύ απλό τρόπο κιόλας. Σημειώνω πως η επιστημονική επιτροπή του συνεδρίου είναι πολύ δύσκολη, όπως και του δικού μας. Δεν περνάει κουνούπι!’, είπε ο Χρήστος.
‘ Για πες, για πες!’, απαίτησε ο Σπύρος.
‘Να χρησιμοποίησε το εξής αντιπαράδειγμα και στην ουσία αυτό είχα στο μυαλό μου’, είπε ο Χρήστος κι άρχισε τα Μαθηματικά!
Πήρε τη συνάρτηση $f\left( x \right)={{3}^{\frac{x}{4}}},\text{x}\in (-\infty ,0]$ και τη συνάρτηση $g\left( x \right)=-{{x}^{4}},\text{x}\in \mathbb{R}$ . Το πεδίο ορισμού της σύνθεσης $g\circ f$ είναι το $A_{g\circ f}}=\left\{ x\in {{D}_{f}}:f\left( x \right)\in {{D}_{g}} \right\}=\left\{ x\in (-\infty ,0]:{{3}^{\frac{x}{4}}}\in \mathbb{R} \right\}=(-\infty ,0]$ και ο τύπος εύκολα τώρα βγαίνει: $g\left( f\left( x \right) \right)=-{{\left( {{3}^{\frac{x}{4}}} \right)}^{4}}=-{{3}^{x}},\text{ x}\in (-\infty ,0]$ .
Επομένως η

γνησίως αύξουσα στο $(-\infty ,0]$ ομοίως και η

στο $(-\infty ,0]$ , όμως η σύνθεση τους $g\circ f$ είναι φανερά γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο $(-\infty ,0]$ !!
‘ Πω πω τι λες τώρα; Πάλι λάθος το έχω. Μα να μην το έχω σκεφτεί…’ είπε απογοητευμένος ο Σπύρος.
Ο καιρός πέρασε, η βαθμολογία στα Μαθηματικά βγήκε και ο Σπύρος που είχε τις ίδιες απαντήσεις με τον Χρήστο εκτός από αυτό το ερώτημα πήρε 5 μονάδες παραπάνω ακριβώς τόσες όσες αντιστοιχούσαν στο ερώτημα που υπήρχε η διαφωνία.
Τι συνέβη; Ποιος έχει δίκιο;
Αδικήθηκε ο Χρήστος που ακολούθησε αυτό που είδε στο συνέδριο Μαθηματικών;
Μπορείτε να βοηθήσετε;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 20, 2020 8:49 pm**

Γεια σου Χρήστο.

Το αντιπαράδειγμα έχει πρόβλημα στο βήμα

chris_gatos έγραψε: Δευ Απρ 20, 2020 7:49 pm Επομένως η γνησίως αύξουσα στο $(-\infty ,0]$ ομοίως και η στο $(-\infty ,0]$ , όμως η σύνθεση τους $g\circ f$ είναι φανερά γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο $(-\infty ,0]$ !!

Αν περιορίσουμε την

στο $(-\infty ,0]$ , τότε η σύνθεση $g\circ f$ δεν έχει νόημα (διότι το "μέσα" f(x)

είναι γνήσια θετικό). Οπότε η απόδειξη για την εύρεση του $A_{f\circ g}$ , όπως την γράφεις στο ωραίο διάλογο που παραθέτεις, έχει πρόβλημα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 20, 2020 9:16 pm**

: Σύνθεση.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 2259 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 20, 2020 9:47 pm**

Ο φίλος μου ο Ιάκωβος, μού είχε πει ότι σε ένα συνέδριο είχε ακούσει τον επίσης παγκοσμίου φήμης Γκαστόν ντε Αλανιάρ να λέει ότι όταν αισθανόμαστε ανασφαλείς(*) με μια πρόταση, πάντα να χρησιμοποιούμε τον ορισμό.

Έστω $\displaystyle {x_1},\;{x_2}( - \infty ,0]$ με $\displaystyle {x_1} < \;{x_2}$ , οπότε $\displaystyle 0 < {3^{\frac{{{x_1}}}{4}}} < {3^{\frac{{{x_2}}}{4}}} \le 1$ , αφού $\displaystyle f\left( x \right) = {3^{\frac{x}{4}}}\;\; \nearrow \;\;\forall x \in ( - \infty ,0]$ .

Τότε $\displaystyle g\left( {{3^{\frac{{{x_1}}}{4}}}} \right) > g\left( {{3^{\frac{{{x_2}}}{4}}}} \right) > 0$ , αφού $\displaystyle g\left( x \right) \searrow \;\;\forall x \in \left[ {0,\; + \infty } \right)$ .

(*) Π.χ. εδώ o Χρήστος κι ο Σπύρος ξέχασαν να πουν γνησίως αύξουσες στο

... Αν τους άκουγε ο καθηγητής τους από το Λύκειο Μπουφιάδη τι γνώμη θα σχημάτιζε;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 21, 2020 4:53 pm**

Χρήστο χρησιμότατος ο διάλογος που έγραψες.

mathematica.gr

Ένα ακόμη διδακτικό επεισόδιο με τον Σπύρο και τον Χρήστο

Ένα ακόμη διδακτικό επεισόδιο με τον Σπύρο και τον Χρήστο

Re: Ένα ακόμη διδακτικό επεισόδιο με τον Σπύρο και τον Χρήστο

Re: Ένα ακόμη διδακτικό επεισόδιο με τον Σπύρο και τον Χρήστο

Re: Ένα ακόμη διδακτικό επεισόδιο με τον Σπύρο και τον Χρήστο

Re: Ένα ακόμη διδακτικό επεισόδιο με τον Σπύρο και τον Χρήστο